Theorem 1onn 8639

Description: The ordinal 1 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7725, see 1onnALT 8640. Lemma 2.2 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) Avoid ax-un 7725. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8478	. 2 ⊢ 1o ∈ On
2		1ellim 8498	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1798	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
4		elom 7858	. 2 ⊢ (1o ∈ ω ↔ (1o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 710	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1540   ∈ wcel 2107  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  ωcom 7855  1_oc1o 8459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-om 7856  df-1o 8466

This theorem is referenced by:  2onnALT  8642  1one2o  8645  oaabs2  8648  omabs  8650  nnm2  8652  nnneo  8654  nneob  8655  snfi  9044  snnen2oOLD  9227  1sdom2ALT  9241  1sdomOLD  9249  unxpdom2  9254  en1eqsnOLD  9275  pwfiOLD  9347  wofib  9540  oancom  9646  cnfcom3clem  9700  ssttrcl  9710  ttrcltr  9711  djurf1o  9908  card1  9963  pm54.43lem  9995  en2eleq  10003  en2other2  10004  infxpenlem  10008  infxpenc2lem1  10014  sdom2en01  10297  cfpwsdom  10579  canthp1lem2  10648  gchdju1  10651  pwxpndom2  10660  pwdjundom  10662  1pi  10878  1lt2pi  10900  indpi  10902  hash2  14365  hash1snb  14379  fnpr2o  17503  fvpr1o  17506  f1otrspeq  19315  pmtrf  19323  pmtrmvd  19324  pmtrfinv  19329  lt6abl  19763  isnzr2  20297  frgpcyg  21129  vr1cl  21741  ply1coe  21820  isppw  26618  bnj906  33941  sat1el2xp  34370  satfv1fvfmla1  34414  satefvfmla1  34416  ex-sategoelelomsuc  34417  ex-sategoelel12  34418  finxpreclem1  36270  finxpreclem2  36271  finxp1o  36273  finxpreclem4  36275  finxp2o  36280  domalom  36285  onexoegt  41993  1oaomeqom  42043  oaabsb  42044  omnord1ex  42054  oaomoencom  42067  cantnftermord  42070  cantnf2  42075  omabs2  42082  omcl2  42083  1finon  42200  finona1cl  42204  1iscard  42293