Theorem 1onn 8248

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8085	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 7581	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 7582	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2886	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243  suc csuc 6161  ωcom 7560  1_oc1o 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-om 7561  df-1o 8085

This theorem is referenced by:  2onn  8249  1one2o  8252  oaabs2  8255  omabs  8257  nnm2  8259  nnneo  8261  nneob  8262  snfi  8577  snnen2o  8691  1sdom2  8701  1sdom  8705  unxpdom2  8710  en1eqsn  8732  en2  8738  pwfi  8803  wofib  8993  oancom  9098  cnfcom3clem  9152  djurf1o  9326  card1  9381  pm54.43lem  9413  en2eleq  9419  en2other2  9420  infxpenlem  9424  infxpenc2lem1  9430  sdom2en01  9713  cfpwsdom  9995  canthp1lem2  10064  gchdju1  10067  pwxpndom2  10076  pwdjundom  10078  1pi  10294  1lt2pi  10316  indpi  10318  hash2  13762  hash1snb  13776  fnpr2o  16822  fvpr1o  16825  f1otrspeq  18567  pmtrf  18575  pmtrmvd  18576  pmtrfinv  18581  lt6abl  19008  isnzr2  20029  frgpcyg  20265  vr1cl  20846  ply1coe  20925  isppw  25699  bnj906  32312  sat1el2xp  32739  satfv1fvfmla1  32783  satefvfmla1  32785  ex-sategoelelomsuc  32786  ex-sategoelel12  32787  finxpreclem1  34806  finxpreclem2  34807  finxp1o  34809  finxpreclem4  34811  finxp2o  34816  domalom  34821