Theorem 1onn 8568

Description: The ordinal 1 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7680, see 1onnALT 8569. Lemma 2.2 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) Avoid ax-un 7680. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8409	. 2 ⊢ 1o ∈ On
2		1ellim 8425	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1796	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
4		elom 7811	. 2 ⊢ (1o ∈ ω ↔ (1o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 711	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1539   ∈ wcel 2113  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  ωcom 7808  1_oc1o 8390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-om 7809  df-1o 8397

This theorem is referenced by:  2onnALT  8571  1one2o  8574  oaabs2  8577  omabs  8579  nnm2  8581  nnneo  8583  nneob  8584  snfi  8980  1sdom2ALT  9149  unxpdom2  9160  wofib  9450  oancom  9560  cnfcom3clem  9614  ssttrcl  9624  ttrcltr  9625  djurf1o  9825  card1  9880  pm54.43lem  9912  en2eleq  9918  en2other2  9919  infxpenlem  9923  infxpenc2lem1  9929  sdom2en01  10212  cfpwsdom  10495  canthp1lem2  10564  gchdju1  10567  pwxpndom2  10576  pwdjundom  10578  1pi  10794  1lt2pi  10816  indpi  10818  hash2  14328  hash1snb  14342  fnpr2o  17478  fvpr1o  17481  f1otrspeq  19376  pmtrf  19384  pmtrmvd  19385  pmtrfinv  19390  lt6abl  19824  isnzr2  20451  frgpcyg  21528  vr1cl  22158  ply1coe  22242  isppw  27080  bnj906  35086  fineqvnttrclse  35280  sat1el2xp  35573  satfv1fvfmla1  35617  satefvfmla1  35619  ex-sategoelelomsuc  35620  ex-sategoelel12  35621  finxpreclem1  37594  finxpreclem2  37595  finxp1o  37597  finxpreclem4  37599  finxp2o  37604  domalom  37609  onexoegt  43486  1oaomeqom  43535  oaabsb  43536  omnord1ex  43546  oaomoencom  43559  cantnftermord  43562  cantnf2  43567  omabs2  43574  omcl2  43575  1finon  43690  finona1cl  43694  1iscard  43783