Theorem 1onn 8267

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8104	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 7603	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 7604	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2911	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∅c0 4293  suc csuc 6195  ωcom 7582  1_oc1o 8097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-om 7583  df-1o 8104

This theorem is referenced by:  2onn  8268  1one2o  8271  oaabs2  8274  omabs  8276  nnm2  8278  nnneo  8280  nneob  8281  snfi  8596  snnen2o  8709  1sdom2  8719  1sdom  8723  unxpdom2  8728  en1eqsn  8750  en2  8756  pwfi  8821  wofib  9011  oancom  9116  cnfcom3clem  9170  djurf1o  9344  card1  9399  pm54.43lem  9430  en2eleq  9436  en2other2  9437  infxpenlem  9441  infxpenc2lem1  9447  sdom2en01  9726  cfpwsdom  10008  canthp1lem2  10077  gchdju1  10080  pwxpndom2  10089  pwdjundom  10091  1pi  10307  1lt2pi  10329  indpi  10331  hash2  13769  hash1snb  13783  fnpr2o  16832  fvpr1o  16835  f1otrspeq  18577  pmtrf  18585  pmtrmvd  18586  pmtrfinv  18591  lt6abl  19017  isnzr2  20038  vr1cl  20387  ply1coe  20466  frgpcyg  20722  isppw  25693  bnj906  32204  sat1el2xp  32628  satfv1fvfmla1  32672  satefvfmla1  32674  ex-sategoelelomsuc  32675  ex-sategoelel12  32676  finxpreclem1  34672  finxpreclem2  34673  finxp1o  34675  finxpreclem4  34677  finxp2o  34682  domalom  34687