Theorem 1onn 8578

Description: The ordinal 1 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7690, see 1onnALT 8579. Lemma 2.2 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) Avoid ax-un 7690. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8419	. 2 ⊢ 1o ∈ On
2		1ellim 8435	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1797	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
4		elom 7821	. 2 ⊢ (1o ∈ ω ↔ (1o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 712	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114  Oncon0 6325  Lim wlim 6326  ωcom 7818  1_oc1o 8400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-om 7819  df-1o 8407

This theorem is referenced by:  2onnALT  8581  1one2o  8584  oaabs2  8587  omabs  8589  nnm2  8591  nnneo  8593  nneob  8594  snfi  8992  1sdom2ALT  9161  unxpdom2  9172  wofib  9462  oancom  9572  cnfcom3clem  9626  ssttrcl  9636  ttrcltr  9637  djurf1o  9837  card1  9892  pm54.43lem  9924  en2eleq  9930  en2other2  9931  infxpenlem  9935  infxpenc2lem1  9941  sdom2en01  10224  cfpwsdom  10507  canthp1lem2  10576  gchdju1  10579  pwxpndom2  10588  pwdjundom  10590  1pi  10806  1lt2pi  10828  indpi  10830  hash2  14340  hash1snb  14354  fnpr2o  17490  fvpr1o  17493  f1otrspeq  19388  pmtrf  19396  pmtrmvd  19397  pmtrfinv  19402  lt6abl  19836  isnzr2  20463  frgpcyg  21540  vr1cl  22170  ply1coe  22254  isppw  27092  bnj906  35106  fineqvnttrclse  35302  sat1el2xp  35595  satfv1fvfmla1  35639  satefvfmla1  35641  ex-sategoelelomsuc  35642  ex-sategoelel12  35643  finxpreclem1  37644  finxpreclem2  37645  finxp1o  37647  finxpreclem4  37649  finxp2o  37654  domalom  37659  onexoegt  43601  1oaomeqom  43650  oaabsb  43651  omnord1ex  43661  oaomoencom  43674  cantnftermord  43677  cantnf2  43682  omabs2  43689  omcl2  43690  1finon  43805  finona1cl  43809  1iscard  43898