Theorem 1onn 8501

Description: The ordinal 1 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7620, see 1onnALT 8502. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) Avoid ax-un 7620. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8340	. 2 ⊢ 1o ∈ On
2		1ellim 8359	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1795	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)
4		elom 7747	. 2 ⊢ (1o ∈ ω ↔ (1o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 1o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 709	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1537   ∈ wcel 2104  Oncon0 6281  Lim wlim 6282  ωcom 7744  1_oc1o 8321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-tr 5199  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-om 7745  df-1o 8328

This theorem is referenced by:  2onnALT  8504  1one2o  8507  oaabs2  8510  omabs  8512  nnm2  8514  nnneo  8516  nneob  8517  snfi  8869  snnen2oOLD  9048  1sdom2OLD  9062  1sdomOLD  9070  unxpdom2  9075  en1eqsnOLD  9096  en2  9101  pwfiOLD  9162  wofib  9352  oancom  9457  cnfcom3clem  9511  ssttrcl  9521  ttrcltr  9522  djurf1o  9719  card1  9774  pm54.43lem  9806  en2eleq  9814  en2other2  9815  infxpenlem  9819  infxpenc2lem1  9825  sdom2en01  10108  cfpwsdom  10390  canthp1lem2  10459  gchdju1  10462  pwxpndom2  10471  pwdjundom  10473  1pi  10689  1lt2pi  10711  indpi  10713  hash2  14169  hash1snb  14183  fnpr2o  17317  fvpr1o  17320  f1otrspeq  19104  pmtrf  19112  pmtrmvd  19113  pmtrfinv  19118  lt6abl  19545  isnzr2  20583  frgpcyg  20830  vr1cl  21437  ply1coe  21516  isppw  26312  bnj906  32959  sat1el2xp  33390  satfv1fvfmla1  33434  satefvfmla1  33436  ex-sategoelelomsuc  33437  ex-sategoelel12  33438  finxpreclem1  35608  finxpreclem2  35609  finxp1o  35611  finxpreclem4  35613  finxp2o  35618  domalom  35623  1finon  41269  finona1cl  41273  1iscard  41362