Theorem 1onn 8447

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8282	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 7724	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 7725	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2837	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  ∅c0 4262  suc csuc 6266  ωcom 7701  1_oc1o 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-11 2158  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7580

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-sb 2072  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-om 7702  df-1o 8282

This theorem is referenced by:  2onn  8448  1one2o  8451  oaabs2  8454  omabs  8456  nnm2  8458  nnneo  8460  nneob  8461  snfi  8809  snnen2o  8972  1sdom2  8992  1sdom  8996  unxpdom2  9001  en1eqsn  9018  en2  9023  pwfiOLD  9084  wofib  9274  oancom  9379  cnfcom3clem  9433  ssttrcl  9443  ttrcltr  9444  djurf1o  9664  card1  9719  pm54.43lem  9751  en2eleq  9757  en2other2  9758  infxpenlem  9762  infxpenc2lem1  9768  sdom2en01  10051  cfpwsdom  10333  canthp1lem2  10402  gchdju1  10405  pwxpndom2  10414  pwdjundom  10416  1pi  10632  1lt2pi  10654  indpi  10656  hash2  14110  hash1snb  14124  fnpr2o  17258  fvpr1o  17261  f1otrspeq  19045  pmtrf  19053  pmtrmvd  19054  pmtrfinv  19059  lt6abl  19486  isnzr2  20524  frgpcyg  20771  vr1cl  21378  ply1coe  21457  isppw  26253  bnj906  32898  sat1el2xp  33329  satfv1fvfmla1  33373  satefvfmla1  33375  ex-sategoelelomsuc  33376  ex-sategoelel12  33377  finxpreclem1  35548  finxpreclem2  35549  finxp1o  35551  finxpreclem4  35553  finxp2o  35558  domalom  35563