Theorem aovnuoveq 48354

Description: The alternative value of the operation on an ordered pair equals the operation's value at this ordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
aovnuoveq	⊢ ( ((𝐴𝐹𝐵)) ≠ V → ((𝐴𝐹𝐵)) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem aovnuoveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-aov 48284	. . 3 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵)) = (𝐹'''⟨𝐴, 𝐵⟩)
2	1	neeq1i 3019	. 2 ⊢ ( ((𝐴𝐹𝐵)) ≠ V ↔ (𝐹'''⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ V)
3		afvnufveq 48310	. . 3 ⊢ ((𝐹'''⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ V → (𝐹'''⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
4		df-ov 7423	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	3, 1, 4	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ ((𝐹'''⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ V → ((𝐴𝐹𝐵)) = (𝐴𝐹𝐵))
6	2, 5	sylbi 220	1 ⊢ ( ((𝐴𝐹𝐵)) ≠ V → ((𝐴𝐹𝐵)) = (𝐴𝐹𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ⟨cop 4834  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  '''cafv 48280   ((caov 48281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-aiota 48248  df-dfat 48282  df-afv 48283  df-aov 48284

This theorem is used by: (None)