Theorem assa2ass 22183

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.) (Proof shortened by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4		assalmod 22180	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		assa2ass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		assa2ass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		assa2ass.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		assa2ass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21165	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12	4, 5, 6, 11	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	13	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
16	7, 8, 10, 9, 15	assaassr 22179	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
17	1, 3, 12, 14, 16	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
18	7, 8, 10, 9, 15	assaass 22178	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
19	18	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
20	1, 3, 12, 14, 19	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
21	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	5	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	6	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
25	7, 8, 9, 10, 24	lmodvsass 21174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) = (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)))
26	25	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋))
27	26	oveq1d 7442	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
28	21, 3, 22, 23, 27	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
29	8	assasca 22182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
31	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
33	10, 24, 30, 31, 32	ringcld 20496	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
35	7, 8, 10, 9, 15	assaass 22178	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
36	1, 34, 23, 14, 35	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
37	28, 36	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
38	17, 20, 37	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  Ringcrg 20471  LModclmod 21147  AssAlgcasa 22170

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mgp 20373  df-ring 20473  df-lmod 21149  df-assa 22173

This theorem is used by:  cpmadugsumlemB  23204