MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem assa2ass 21409
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assa2ass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assa2ass.m βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
assa2ass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assa2ass.t Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
assa2ass ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
323ad2ant2 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
4 assalmod 21406 . . . 4 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
6 simpl 483 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 assa2ass.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 assa2ass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 assa2ass.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 assa2ass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
117, 8, 9, 10lmodvscl 20481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
124, 5, 6, 11syl3an 1160 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
13 simpr 485 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
14133ad2ant3 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 assa2ass.t . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
167, 8, 10, 9, 15assaassr 21405 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
187, 8, 10, 9, 15assaass 21404 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
1918eqcomd 2738 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
2143ad2ant1 1133 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2253ad2ant2 1134 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
2363ad2ant3 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 assa2ass.m . . . . . . 7 βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 20489 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) = (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2625eqcomd 2738 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋))
2726oveq1d 7420 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
298assasca 21408 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3029adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
312adantl 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
325adantl 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3310, 24ringcl 20066 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
3430, 31, 32, 33syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
35343adant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
367, 8, 10, 9, 15assaass 21404 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ ((𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
371, 35, 23, 14, 36syl13anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
3828, 37eqtrd 2772 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
3917, 20, 383eqtrd 2776 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  AssAlgcasa 21396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-assa 21399
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  22367
  Copyright terms: Public domain W3C validator