MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assa2ass 19806
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m = (.r𝐹)
assa2ass.s · = ( ·𝑠𝑊)
assa2ass.t × = (.r𝑊)
Assertion
Ref Expression
assa2ass ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1116 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2 simpr 477 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
323ad2ant2 1114 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐶𝐵)
4 assalmod 19803 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpl 475 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐴𝐵)
6 simpl 475 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
7 assa2ass.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 assa2ass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 assa2ass.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
10 assa2ass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
117, 8, 9, 10lmodvscl 19363 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
124, 5, 6, 11syl3an 1140 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13 simpr 477 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
14133ad2ant3 1115 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
15 assa2ass.t . . . 4 × = (.r𝑊)
167, 8, 10, 9, 15assaassr 19802 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1352 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
187, 8, 10, 9, 15assaass 19801 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
1918eqcomd 2778 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1352 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
2143ad2ant1 1113 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2253ad2ant2 1114 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐴𝐵)
2363ad2ant3 1115 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
24 assa2ass.m . . . . . . 7 = (.r𝐹)
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 19371 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝑉)) → ((𝐶 𝐴) · 𝑋) = (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)))
2625eqcomd 2778 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) = ((𝐶 𝐴) · 𝑋))
2726oveq1d 6985 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1352 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
298assasca 19805 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
30 crngring 19021 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
332adantl 474 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
345adantl 474 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐴𝐵)
3510, 24ringcl 19024 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝐵)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝐵)
37363adant3 1112 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝐵)
387, 8, 10, 9, 15assaass 19801 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐶 𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
391, 37, 23, 14, 38syl13anc 1352 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
4028, 39eqtrd 2808 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
4117, 20, 403eqtrd 2812 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  .rcmulr 16412  Scalarcsca 16414   ·𝑠 cvsca 16415  Ringcrg 19010  CRingccrg 19011  LModclmod 19346  AssAlgcasa 19793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mgp 18953  df-ring 19012  df-cring 19013  df-lmod 19348  df-assa 19796
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  21176
  Copyright terms: Public domain W3C validator