MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assa2ass 20023
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m = (.r𝐹)
assa2ass.s · = ( ·𝑠𝑊)
assa2ass.t × = (.r𝑊)
Assertion
Ref Expression
assa2ass ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
323ad2ant2 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐶𝐵)
4 assalmod 20020 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpl 483 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐴𝐵)
6 simpl 483 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
7 assa2ass.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 assa2ass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 assa2ass.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
10 assa2ass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
117, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐵𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
124, 5, 6, 11syl3an 1152 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13 simpr 485 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
14133ad2ant3 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
15 assa2ass.t . . . 4 × = (.r𝑊)
167, 8, 10, 9, 15assaassr 20019 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1364 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
187, 8, 10, 9, 15assaass 20018 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
1918eqcomd 2824 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1364 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
2143ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2253ad2ant2 1126 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐴𝐵)
2363ad2ant3 1127 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
24 assa2ass.m . . . . . . 7 = (.r𝐹)
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 19588 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝑉)) → ((𝐶 𝐴) · 𝑋) = (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)))
2625eqcomd 2824 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝑉)) → (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) = ((𝐶 𝐴) · 𝑋))
2726oveq1d 7160 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1364 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
298assasca 20022 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
30 crngring 19237 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
345adantl 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐴𝐵)
3510, 24ringcl 19240 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝐵)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝐵)
37363adant3 1124 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝐵)
387, 8, 10, 9, 15assaass 20018 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐶 𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
391, 37, 23, 14, 38syl13anc 1364 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝐶 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
4028, 39eqtrd 2853 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
4117, 20, 403eqtrd 2857 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  LModclmod 19563  AssAlgcasa 20010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mgp 19169  df-ring 19228  df-cring 19229  df-lmod 19565  df-assa 20013
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  21410
  Copyright terms: Public domain W3C validator