MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assa2ass 21285
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assa2ass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assa2ass.m βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
assa2ass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assa2ass.t Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
assa2ass ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))

Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
323ad2ant2 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
4 assalmod 21282 . . . 4 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 simpl 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
6 simpl 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 assa2ass.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 assa2ass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 assa2ass.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 assa2ass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
117, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
124, 5, 6, 11syl3an 1161 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
13 simpr 486 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
14133ad2ant3 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 assa2ass.t . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
167, 8, 10, 9, 15assaassr 21281 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1373 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
187, 8, 10, 9, 15assaass 21280 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
1918eqcomd 2739 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1373 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
2143ad2ant1 1134 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2253ad2ant2 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
2363ad2ant3 1136 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 assa2ass.m . . . . . . 7 βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 20362 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) = (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2625eqcomd 2739 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋))
2726oveq1d 7373 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1373 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
298assasca 21284 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐹 ∈ CRing)
30 crngring 19981 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
332adantl 483 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
345adantl 483 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3510, 24ringcl 19986 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
37363adant3 1133 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
387, 8, 10, 9, 15assaass 21280 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ ((𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
391, 37, 23, 14, 38syl13anc 1373 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
4028, 39eqtrd 2773 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
4117, 20, 403eqtrd 2777 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  LModclmod 20336  AssAlgcasa 21272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-cring 19972  df-lmod 20338  df-assa 21275
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  22239
  Copyright terms: Public domain W3C validator