Theorem assa2ass 20980

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4		assalmod 20977	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		assa2ass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		assa2ass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		assa2ass.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		assa2ass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20055	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12	4, 5, 6, 11	syl3an 1158	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	13	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
16	7, 8, 10, 9, 15	assaassr 20976	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
17	1, 3, 12, 14, 16	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
18	7, 8, 10, 9, 15	assaass 20975	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
19	18	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
20	1, 3, 12, 14, 19	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
21	4	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	5	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	6	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
25	7, 8, 9, 10, 24	lmodvsass 20063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) = (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)))
26	25	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋))
27	26	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
28	21, 3, 22, 23, 27	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
29	8	assasca 20979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
30		crngring 19710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
33	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
34	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
35	10, 24	ringcl 19715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
37	36	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
38	7, 8, 10, 9, 15	assaass 20975	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
39	1, 37, 23, 14, 38	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
40	28, 39	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
41	17, 20, 40	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  LModclmod 20038  AssAlgcasa 20967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-cring 19701  df-lmod 20040  df-assa 20970

This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  21931