Theorem assa2ass 22171

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.) (Proof shortened by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4		assalmod 22168	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		assa2ass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		assa2ass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		assa2ass.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		assa2ass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12	4, 5, 6, 11	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	13	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
16	7, 8, 10, 9, 15	assaassr 22167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
17	1, 3, 12, 14, 16	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
18	7, 8, 10, 9, 15	assaass 22166	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
19	18	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
20	1, 3, 12, 14, 19	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
21	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	5	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	6	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
25	7, 8, 9, 10, 24	lmodvsass 21162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) = (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)))
26	25	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋))
27	26	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
28	21, 3, 22, 23, 27	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
29	8	assasca 22170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
31	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
33	10, 24, 30, 31, 32	ringcld 20484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
35	7, 8, 10, 9, 15	assaass 22166	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
36	1, 34, 23, 14, 35	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
37	28, 36	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
38	17, 20, 37	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  AssAlgcasa 22158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mgp 20361  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-assa 22161

This theorem is used by:  cpmadugsumlemB  23192