MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem assa2ass 21811
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assa2ass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assa2ass.m βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
assa2ass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assa2ass.t Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
assa2ass ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 simpr 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
323ad2ant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
4 assalmod 21808 . . . 4 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 simpl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
6 simpl 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 assa2ass.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 assa2ass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 assa2ass.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 assa2ass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
117, 8, 9, 10lmodvscl 20775 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
124, 5, 6, 11syl3an 1157 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
13 simpr 483 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
14133ad2ant3 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 assa2ass.t . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
167, 8, 10, 9, 15assaassr 21807 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
187, 8, 10, 9, 15assaass 21806 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
1918eqcomd 2734 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
2143ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2253ad2ant2 1131 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
2363ad2ant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 assa2ass.m . . . . . . 7 βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 20784 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) = (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2625eqcomd 2734 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋))
2726oveq1d 7441 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
298assasca 21810 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
312adantl 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
325adantl 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3310, 24ringcl 20204 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
3430, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
35343adant3 1129 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
367, 8, 10, 9, 15assaass 21806 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ ((𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
371, 35, 23, 14, 36syl13anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
3828, 37eqtrd 2768 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
3917, 20, 383eqtrd 2772 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  Ringcrg 20187  LModclmod 20757  AssAlgcasa 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mgp 20089  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-assa 21801
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  22804
  Copyright terms: Public domain W3C validator