MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem assa2ass 21758
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
assa2ass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
assa2ass.m βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
assa2ass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
assa2ass.t Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
assa2ass ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem assa2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
323ad2ant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
4 assalmod 21755 . . . 4 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
6 simpl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 assa2ass.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 assa2ass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 assa2ass.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 assa2ass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
117, 8, 9, 10lmodvscl 20724 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
124, 5, 6, 11syl3an 1157 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
13 simpr 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
14133ad2ant3 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 assa2ass.t . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘Š)
167, 8, 10, 9, 15assaassr 21754 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
171, 3, 12, 14, 16syl13anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
187, 8, 10, 9, 15assaass 21753 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)))
1918eqcomd 2732 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
201, 3, 12, 14, 19syl13anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— π‘Œ)) = ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ))
2143ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2253ad2ant2 1131 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
2363ad2ant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 assa2ass.m . . . . . . 7 βˆ— = (.rβ€˜πΉ)
257, 8, 9, 10, 24lmodvsass 20733 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) = (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2625eqcomd 2732 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋))
2726oveq1d 7420 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
2821, 3, 22, 23, 27syl13anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ))
298assasca 21757 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3029adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
312adantl 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
325adantl 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3310, 24ringcl 20155 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
3430, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
35343adant3 1129 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡)
367, 8, 10, 9, 15assaass 21753 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ ((𝐢 βˆ— 𝐴) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
371, 35, 23, 14, 36syl13anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· 𝑋) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
3828, 37eqtrd 2766 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴 Β· 𝑋)) Γ— π‘Œ) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
3917, 20, 383eqtrd 2770 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) Γ— (𝐢 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 βˆ— 𝐴) Β· (𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  Ringcrg 20138  LModclmod 20706  AssAlgcasa 21745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20040  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-assa 21748
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  22731
  Copyright terms: Public domain W3C validator