Theorem asplss 21790

Description: The algebraic span of a set of vectors is a vector subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asplss	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem asplss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aspval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2		aspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		aspval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
4	1, 2, 3	aspval 21789	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
5		assalmod 21776	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
7		ssrab2 4046	. . . . 5 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)
8		inss2 4204	. . . . 5 ⊢ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ⊆ 𝐿
9	7, 8	sstri 3959	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝐿
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝐿)
11		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ (𝐴‘𝑆) ∈ V
12	4, 11	eqeltrrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
13		intex 5302	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
14	12, 13	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅)
15	3	lssintcl 20877	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝐿 ∧ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
16	6, 10, 14, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
17	4, 16	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  SubRingcsubrg 20485  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  AssAlgcasa 21766  AlgSpancasp 21767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-assa 21769  df-asp 21770

This theorem is referenced by:  mplbas2  21956