Theorem asplss 21807

Description: The algebraic span of a set of vectors is a vector subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asplss	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem asplss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aspval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2		aspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		aspval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
4	1, 2, 3	aspval 21806	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
5		assalmod 21794	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
7		ssrab2 4075	. . . . 5 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)
8		inss2 4230	. . . . 5 ⊢ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ⊆ 𝐿
9	7, 8	sstri 3989	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝐿
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝐿)
11		fvex 6910	. . . . 5 ⊢ (𝐴‘𝑆) ∈ V
12	4, 11	eqeltrrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
13		intex 5339	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
14	12, 13	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅)
15	3	lssintcl 20848	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝐿 ∧ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
16	6, 10, 14, 15	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
17	4, 16	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  {crab 3429  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ∩ cint 4949  ‘cfv 6548  Basecbs 17180  SubRingcsubrg 20506  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  AssAlgcasa 21784  AlgSpancasp 21785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-assa 21787  df-asp 21788

This theorem is referenced by:  mplbas2  21980