MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubassa3 21886
Description: A subring that is also a subspace is a subalgebra. The key theorem is islss3 20957. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s 𝑆 = (𝑊s 𝐴)
issubassa.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
issubassa3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem issubassa3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubassa.s . . . 4 𝑆 = (𝑊s 𝐴)
21subrgbas 20581 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
32ad2antrl 728 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4 eqid 2737 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
51, 4resssca 17387 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
65ad2antrl 728 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
7 eqidd 2738 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8 eqid 2737 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
91, 8ressvsca 17388 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑆))
109ad2antrl 728 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑆))
11 eqid 2737 . . . 4 (.r𝑊) = (.r𝑊)
121, 11ressmulr 17351 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (.r𝑊) = (.r𝑆))
1312ad2antrl 728 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (.r𝑊) = (.r𝑆))
14 assalmod 21880 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
15 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿) → 𝐴𝐿)
16 issubassa.l . . . 4 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
171, 16lsslmod 20958 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
1814, 15, 17syl2an 596 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ LMod)
191subrgring 20574 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ∈ Ring)
2019ad2antrl 728 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ Ring)
21 idd 24 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
22 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2322subrgss 20572 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
2423ad2antrl 728 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
2524sseld 3982 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (Base‘𝑊)))
2624sseld 3982 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
2721, 25, 263anim123d 1445 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → ((𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))))
2827imp 406 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
29 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3022, 4, 29, 8, 11assaass 21878 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3130adantlr 715 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3228, 31syldan 591 . 2 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3322, 4, 29, 8, 11assaassr 21879 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3433adantlr 715 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3528, 34syldan 591 . 2 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
363, 6, 7, 10, 13, 18, 20, 32, 35isassad 21885 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  AssAlgcasa 21870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-assa 21873
This theorem is referenced by:  issubassa  21887  rnasclassa  21915
  Copyright terms: Public domain W3C validator