Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubassa3 20573
 Description: A subring that is also a subspace is a subalgebra. The key theorem is islss3 19742. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s 𝑆 = (𝑊s 𝐴)
issubassa.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
issubassa3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem issubassa3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubassa.s . . . 4 𝑆 = (𝑊s 𝐴)
21subrgbas 19555 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
32ad2antrl 727 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4 eqid 2798 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
51, 4resssca 16659 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
65ad2antrl 727 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
7 eqidd 2799 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8 eqid 2798 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
91, 8ressvsca 16660 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑆))
109ad2antrl 727 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑆))
11 eqid 2798 . . . 4 (.r𝑊) = (.r𝑊)
121, 11ressmulr 16634 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (.r𝑊) = (.r𝑆))
1312ad2antrl 727 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (.r𝑊) = (.r𝑆))
14 assalmod 20568 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
15 simpr 488 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿) → 𝐴𝐿)
16 issubassa.l . . . 4 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
171, 16lsslmod 19743 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
1814, 15, 17syl2an 598 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ LMod)
191subrgring 19549 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ∈ Ring)
2019ad2antrl 727 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ Ring)
214assasca 20570 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → (Scalar‘𝑊) ∈ CRing)
2221adantr 484 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (Scalar‘𝑊) ∈ CRing)
23 idd 24 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
24 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2524subrgss 19547 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
2625ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
2726sseld 3915 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (Base‘𝑊)))
2826sseld 3915 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
2923, 27, 283anim123d 1440 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → ((𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))))
3029imp 410 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
31 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3224, 4, 31, 8, 11assaass 20566 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3332adantlr 714 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3430, 33syldan 594 . 2 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3524, 4, 31, 8, 11assaassr 20567 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3635adantlr 714 . . 3 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
3730, 36syldan 594 . 2 (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
383, 6, 7, 10, 13, 18, 20, 22, 34, 37isassad 20572 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3882  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  Basecbs 16492   ↾s cress 16493  .rcmulr 16575  Scalarcsca 16577   ·𝑠 cvsca 16578  Ringcrg 19308  CRingccrg 19309  SubRingcsubrg 19542  LModclmod 19645  LSubSpclss 19714  AssAlgcasa 20558 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-0g 16724  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-grp 18115  df-minusg 18116  df-sbg 18117  df-subg 18286  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-ring 19310  df-subrg 19544  df-lmod 19647  df-lss 19715  df-assa 20561 This theorem is referenced by:  issubassa  20574  rnasclassa  20601
 Copyright terms: Public domain W3C validator