Theorem issubassa3 21775

Description: A subring that is also a subspace is a subalgebra. The key theorem is islss3 20865. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubassa.s	⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
issubassa.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
issubassa3	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem issubassa3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubassa.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2	1	subrgbas 20490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
3	2	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	1, 4	resssca 17306	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
6	5	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
7		eqidd 2730	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9	1, 8	ressvsca 17307	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
10	9	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
12	1, 11	ressmulr 17270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝑆))
13	12	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝑆))
14		assalmod 21769	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ 𝐿)
16		issubassa.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
17	1, 16	lsslmod 20866	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
18	14, 15, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ LMod)
19	1	subrgring 20483	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ∈ Ring)
20	19	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ Ring)
21		idd 24	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
22		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23	22	subrgss 20481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
24	23	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
25	24	sseld 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)))
26	24	sseld 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
27	21, 25, 26	3anim123d 1445	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → ((𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))))
28	27	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
29		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
30	22, 4, 29, 8, 11	assaass 21767	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
31	30	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
32	28, 31	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
33	22, 4, 29, 8, 11	assaassr 21768	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
34	33	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
35	28, 34	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
36	3, 6, 7, 10, 13, 18, 20, 32, 35	isassad 21774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Ringcrg 20142  SubRingcsubrg 20478  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  AssAlgcasa 21759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-assa 21762

This theorem is referenced by:  issubassa  21776  rnasclassa  21804