Theorem issubassa3 21803

Description: A subring that is also a subspace is a subalgebra. The key theorem is islss3 20892. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubassa.s	⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
issubassa.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
issubassa3	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem issubassa3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubassa.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2	1	subrgbas 20496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
3	2	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	1, 4	resssca 17247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
6	5	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑆))
7		eqidd 2732	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9	1, 8	ressvsca 17248	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
10	9	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
12	1, 11	ressmulr 17211	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝑆))
13	12	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝑆))
14		assalmod 21797	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ 𝐿)
16		issubassa.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
17	1, 16	lsslmod 20893	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
18	14, 15, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ LMod)
19	1	subrgring 20489	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ∈ Ring)
20	19	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ Ring)
21		idd 24	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
22		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23	22	subrgss 20487	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
24	23	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
25	24	sseld 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)))
26	24	sseld 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
27	21, 25, 26	3anim123d 1445	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → ((𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))))
28	27	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊)))
29		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
30	22, 4, 29, 8, 11	assaass 21795	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
31	30	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
32	28, 31	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
33	22, 4, 29, 8, 11	assaassr 21796	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
34	33	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
35	28, 34	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
36	3, 6, 7, 10, 13, 18, 20, 32, 35	isassad 21802	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿)) → 𝑆 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  Ringcrg 20151  SubRingcsubrg 20484  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  AssAlgcasa 21787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-assa 21790

This theorem is referenced by:  issubassa  21804  rnasclassa  21832