MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2mul 19997
Description: Product of scaled monomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2cl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2cl.z 0 = (0g𝑅)
mplmon2cl.c 𝐶 = (Base‘𝑅)
mplmon2cl.i (𝜑𝐼𝑊)
mplmon2mul.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mplmon2mul.t = (.r𝑃)
mplmon2mul.u · = (.r𝑅)
mplmon2mul.x (𝜑𝑋𝐷)
mplmon2mul.y (𝜑𝑌𝐷)
mplmon2mul.f (𝜑𝐹𝐶)
mplmon2mul.g (𝜑𝐺𝐶)
Assertion
Ref Expression
mplmon2mul (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (𝐹 · 𝐺), 0 )))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑓,𝐼   𝑦,𝑅   𝑦, ·   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑌,𝑦   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   (𝑦,𝑓)   · (𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2mul
StepHypRef Expression
1 mplmon2cl.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
2 mplmon2mul.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
3 mplmon2cl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
43mplassa 19951 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
51, 2, 4syl2anc 576 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
6 mplmon2mul.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
7 mplmon2cl.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑅)
83, 1, 2mplsca 19942 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
98fveq2d 6505 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
107, 9syl5eq 2826 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
116, 10eleqtrd 2868 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
12 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13 mplmon2cl.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
14 eqid 2778 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
15 mplmon2cl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 crngring 19034 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
172, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
18 mplmon2mul.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
193, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 18mplmon 19960 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
20 assalmod 19816 . . . . . 6 (𝑃 ∈ AssAlg → 𝑃 ∈ LMod)
215, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
22 mplmon2mul.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐶)
2322, 10eleqtrd 2868 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
24 mplmon2mul.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐷)
253, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 24mplmon 19960 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
26 eqid 2778 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
27 eqid 2778 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
28 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2912, 26, 27, 28lmodvscl 19376 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) ∈ (Base‘𝑃))
3021, 23, 25, 29syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑 → (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) ∈ (Base‘𝑃))
31 mplmon2mul.t . . . . 5 = (.r𝑃)
3212, 26, 28, 27, 31assaass 19814 . . . 4 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))))
335, 11, 19, 30, 32syl13anc 1352 . . 3 (𝜑 → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))))
3412, 26, 28, 27, 31assaassr 19815 . . . . 5 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))))
355, 23, 19, 25, 34syl13anc 1352 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))))
3635oveq2d 6994 . . 3 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))))
373, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 18, 31, 24mplmonmul 19961 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))
3837oveq2d 6994 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
3938oveq2d 6994 . . . 4 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))))
4015psrbagaddcl 19867 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐷)
411, 18, 24, 40syl3anc 1351 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐷)
423, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 41mplmon 19960 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
43 eqid 2778 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝑃)) = (.r‘(Scalar‘𝑃))
4412, 26, 27, 28, 43lmodvsass 19384 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))))
4521, 11, 23, 42, 44syl13anc 1352 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))))
46 mplmon2mul.u . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
478fveq2d 6505 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑃)))
4846, 47syl5req 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝑃)) = · )
4948oveqd 6995 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺) = (𝐹 · 𝐺))
5049oveq1d 6993 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
5139, 45, 503eqtr2d 2820 . . 3 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))) = ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
5233, 36, 513eqtrd 2818 . 2 (𝜑 → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
533, 27, 15, 14, 13, 7, 1, 17, 18, 6mplmon2 19989 . . 3 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )))
543, 27, 15, 14, 13, 7, 1, 17, 24, 22mplmon2 19989 . . 3 (𝜑 → (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 )))
5553, 54oveq12d 6996 . 2 (𝜑 → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 ))))
567, 46ringcl 19037 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐶𝐺𝐶) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐶)
5717, 6, 22, 56syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐶)
583, 27, 15, 14, 13, 7, 1, 17, 41, 57mplmon2 19989 . 2 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (𝐹 · 𝐺), 0 )))
5952, 55, 583eqtr3d 2822 1 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋𝑓 + 𝑌), (𝐹 · 𝐺), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3092  ifcif 4351  cmpt 5009  ccnv 5407  cima 5411  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑓 cof 7227  𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308   + caddc 10340  cn 11441  0cn0 11710  Basecbs 16342  .rcmulr 16425  Scalarcsca 16427   ·𝑠 cvsca 16428  0gc0g 16572  1rcur 18977  Ringcrg 19023  CRingccrg 19024  LModclmod 19359  AssAlgcasa 19806   mPoly cmpl 19850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-ofr 7230  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-hash 13509  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-tset 16443  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-subrg 19259  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-assa 19809  df-psr 19853  df-mpl 19855
This theorem is referenced by:  evlslem2  20008
  Copyright terms: Public domain W3C validator