Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2mul 20743
 Description: Product of scaled monomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2cl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2cl.z 0 = (0g𝑅)
mplmon2cl.c 𝐶 = (Base‘𝑅)
mplmon2cl.i (𝜑𝐼𝑊)
mplmon2mul.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mplmon2mul.t = (.r𝑃)
mplmon2mul.u · = (.r𝑅)
mplmon2mul.x (𝜑𝑋𝐷)
mplmon2mul.y (𝜑𝑌𝐷)
mplmon2mul.f (𝜑𝐹𝐶)
mplmon2mul.g (𝜑𝐺𝐶)
Assertion
Ref Expression
mplmon2mul (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (𝐹 · 𝐺), 0 )))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑓,𝐼   𝑦,𝑅   𝑦, ·   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑌,𝑦   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   (𝑦,𝑓)   · (𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2mul
StepHypRef Expression
1 mplmon2cl.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
2 mplmon2mul.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
3 mplmon2cl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
43mplassa 20697 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
51, 2, 4syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
6 mplmon2mul.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
7 mplmon2cl.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑅)
83, 1, 2mplsca 20687 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
98fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
107, 9syl5eq 2848 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
116, 10eleqtrd 2895 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
12 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13 mplmon2cl.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
14 eqid 2801 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
15 mplmon2cl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 crngring 19305 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
172, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
18 mplmon2mul.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
193, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 18mplmon 20706 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
20 assalmod 20552 . . . . . 6 (𝑃 ∈ AssAlg → 𝑃 ∈ LMod)
215, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
22 mplmon2mul.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐶)
2322, 10eleqtrd 2895 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
24 mplmon2mul.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐷)
253, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 24mplmon 20706 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
26 eqid 2801 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
27 eqid 2801 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
28 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2912, 26, 27, 28lmodvscl 19647 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) ∈ (Base‘𝑃))
3021, 23, 25, 29syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) ∈ (Base‘𝑃))
31 mplmon2mul.t . . . . 5 = (.r𝑃)
3212, 26, 28, 27, 31assaass 20550 . . . 4 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))))
335, 11, 19, 30, 32syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))))
3412, 26, 28, 27, 31assaassr 20551 . . . . 5 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))))
355, 23, 19, 25, 34syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))))
3635oveq2d 7155 . . 3 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))))
373, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 18, 31, 24mplmonmul 20707 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))
3837oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
3938oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))))
4015psrbagaddcl 20611 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐷)
411, 18, 24, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐷)
423, 12, 13, 14, 15, 1, 17, 41mplmon 20706 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
43 eqid 2801 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝑃)) = (.r‘(Scalar‘𝑃))
4412, 26, 27, 28, 43lmodvsass 19655 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 )) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))))
4521, 11, 23, 42, 44syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 )))))
46 mplmon2mul.u . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
478fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑃)))
4846, 47syl5req 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝑃)) = · )
4948oveqd 7156 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺) = (𝐹 · 𝐺))
5049oveq1d 7154 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(.r‘(Scalar‘𝑃))𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
5139, 45, 503eqtr2d 2842 . . 3 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝐺( ·𝑠𝑃)((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))))) = ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
5233, 36, 513eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))))
533, 27, 15, 14, 13, 7, 1, 17, 18, 6mplmon2 20735 . . 3 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )))
543, 27, 15, 14, 13, 7, 1, 17, 24, 22mplmon2 20735 . . 3 (𝜑 → (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 )))
5553, 54oveq12d 7157 . 2 (𝜑 → ((𝐹( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, (1r𝑅), 0 ))) (𝐺( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, (1r𝑅), 0 )))) = ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 ))))
567, 46ringcl 19310 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐶𝐺𝐶) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐶)
5717, 6, 22, 56syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐶)
583, 27, 15, 14, 13, 7, 1, 17, 41, 57mplmon2 20735 . 2 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)( ·𝑠𝑃)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (𝐹 · 𝐺), 0 )))
5952, 55, 583eqtr3d 2844 1 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝐹, 0 )) (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 𝐺, 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋f + 𝑌), (𝐹 · 𝐺), 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113  ifcif 4428   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5522   “ cima 5526  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496   + caddc 10533  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  1rcur 19247  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  LModclmod 19630  AssAlgcasa 20542   mPoly cmpl 20594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-assa 20545  df-psr 20597  df-mpl 20599 This theorem is referenced by:  evlslem2  20754
 Copyright terms: Public domain W3C validator