Theorem bropfvvvvlem 8043

Description: Lemma for bropfvvvv 8044. (Contributed by AV, 31-Dec-2020.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropfvvvv.o	⊢ 𝑂 = (𝑎 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏 ∈ 𝑉, 𝑐 ∈ 𝑊 ↦ {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜑}))
bropfvvvv.oo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})

Assertion

Ref	Expression
bropfvvvvlem	⊢ ((⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ∧ 𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))

Distinct variable group:   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝜃(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑒,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐸(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑂(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑉(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem bropfvvvvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5668	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ↔ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇))
2		brne0 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅)
3		bropfvvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})
4	3	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})
5	4	breqd 5111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 ↔ 𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸))
6		brabv 5522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
7	6	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))
8	7	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
10	5, 9	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
11	10	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
12	11	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
13	12	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
14		bropfvvvv.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝑎 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏 ∈ 𝑉, 𝑐 ∈ 𝑊 ↦ {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜑}))
15	14	fvmptndm 6981	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑈 → (𝑂‘𝐴) = ∅)
16		df-ov 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ((𝑂‘𝐴)‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
17		fveq1 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → ((𝑂‘𝐴)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
18	16, 17	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
19		0fv 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ∅)
21		eqneqall 2944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ∅ → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
22	15, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
23	13, 22	pm2.61i 182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
24	2, 23	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
26	25	anc2ri 556	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇))))
27		3anan32 1097	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)))
28	26, 27	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
29	1, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
30	29	imp 406	1 ⊢ ((⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ∧ 𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ∅c0 4287  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-xp 5638  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371

This theorem is referenced by:  bropfvvvv  8044