Theorem bropfvvvvlem 8088

Description: Lemma for bropfvvvv 8089. (Contributed by AV, 31-Dec-2020.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropfvvvv.o	⊢ 𝑂 = (𝑎 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏 ∈ 𝑉, 𝑐 ∈ 𝑊 ↦ {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜑}))
bropfvvvv.oo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})

Assertion

Ref	Expression
bropfvvvvlem	⊢ ((⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ∧ 𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))

Distinct variable group:   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝜃(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝐴(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝐵(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝐶(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝐷(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑆(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑇(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑈(𝑒, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝐸(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑂(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑉(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑊(𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem bropfvvvvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5699	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ↔ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇))
2		brne0 5163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅)
3		bropfvvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})
4	3	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})
5	4	breqd 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 ↔ 𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸))
6		brabv 5553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
7	6	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))
8	7	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
10	5, 9	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
11	10	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
12	11	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
13	12	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
14		bropfvvvv.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝑎 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏 ∈ 𝑉, 𝑐 ∈ 𝑊 ↦ {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜑}))
15	14	fvmptndm 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑈 → (𝑂‘𝐴) = ∅)
16		df-ov 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ((𝑂‘𝐴)‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
17		fveq1 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → ((𝑂‘𝐴)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
18	16, 17	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
19		0fv 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ∅)
21		eqneqall 2971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ∅ → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
22	15, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
23	13, 22	pm2.61i 184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
24	2, 23	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
25	24	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
26	25	anc2ri 566	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇))))
27		3anan32 1113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)))
28	26, 27	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
29	1, 28	sylbi 220	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
30	29	imp 412	1 ⊢ ((⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ∧ 𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  {copab 5175   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-xp 5669  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7419

This theorem is used by:  bropfvvvv  8089