Theorem bropfvvvvlem 8090

Description: Lemma for bropfvvvv 8091. (Contributed by AV, 31-Dec-2020.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropfvvvv.o	⊢ 𝑂 = (𝑎 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏 ∈ 𝑉, 𝑐 ∈ 𝑊 ↦ {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜑}))
bropfvvvv.oo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})

Assertion

Ref	Expression
bropfvvvvlem	⊢ ((⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ∧ 𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))

Distinct variable group:   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝜃(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑒,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐸(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑂(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑉(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem bropfvvvvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5690	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ↔ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇))
2		brne0 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅)
3		bropfvvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})
4	3	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃})
5	4	breqd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 ↔ 𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸))
6		brabv 5543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
7	6	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))
8	7	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷{⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜃}𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
10	5, 9	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
11	10	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
12	11	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
13	12	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
14		bropfvvvv.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝑎 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏 ∈ 𝑉, 𝑐 ∈ 𝑊 ↦ {⟨𝑑, 𝑒⟩ ∣ 𝜑}))
15	14	fvmptndm 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑈 → (𝑂‘𝐴) = ∅)
16		df-ov 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ((𝑂‘𝐴)‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
17		fveq1 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → ((𝑂‘𝐴)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
18	16, 17	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
19		0fv 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = ∅ → (𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ∅)
21		eqneqall 2943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) = ∅ → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
22	15, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))))
23	13, 22	pm2.61i 182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶) ≠ ∅ → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))))
24	2, 23	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
26	25	anc2ri 556	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇))))
27		3anan32 1096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇)))
28	26, 27	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
29	1, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸 → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))))
30	29	imp 406	1 ⊢ ((⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 × 𝑇) ∧ 𝐷(𝐵(𝑂‘𝐴)𝐶)𝐸) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459  ∅c0 4308  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  {copab 5181   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-xp 5660  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fv 6539  df-ov 7408

This theorem is referenced by:  bropfvvvv  8091