MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fv 6706
Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
0fv (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv
StepHypRef Expression
1 noel 4300 . . 3 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 dm0 5789 . . . 4 dom ∅ = ∅
32eleq2i 2909 . . 3 (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
41, 3mtbir 324 . 2 ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5 ndmfv 6697 . 2 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
64, 5ax-mp 5 1 (∅‘𝐴) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1530  wcel 2107  c0 4295  dom cdm 5554  cfv 6352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-nul 5207  ax-pow 5263
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-dm 5564  df-iota 6312  df-fv 6360
This theorem is referenced by:  fv2prc  6707  csbfv12  6710  0ov  7185  csbov123  7190  csbov  7191  elovmpt3imp  7392  bropopvvv  7776  bropfvvvvlem  7777  itunisuc  9830  ccat1st1st  13974  str0  16525  ressbas  16544  cntrval  18379  cntzval  18381  cntzrcl  18387  rlmval  19883  opsrle  20174  opsrbaslem  20176  mpfrcl  20216  evlval  20225  psr1val  20271  vr1val  20277  chrval  20588  ocvval  20727  elocv  20728  iscnp2  21763  resvsca  30817  mrsubfval  32639  msubfval  32655  poimirlem28  34787  0cnv  41888
  Copyright terms: Public domain W3C validator