Theorem 0fv 6884

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4297	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5874	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6875	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  dom cdm 5631  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  fv2prc  6885  csbfv12  6888  0ov  7406  elfvov1  7411  elfvov2  7412  csbov123  7413  csbov  7414  elovmpt3imp  7626  bropopvvv  8046  bropfvvvvlem  8047  itunisuc  10348  ccat1st1st  14569  str0  17135  cntrval  19227  cntzval  19229  cntzrcl  19235  rlmval  21074  chrval  21409  ocvval  21552  elocv  21553  opsrle  21930  opsrbaslem  21932  mpfrcl  21968  evlval  21978  psr1val  22046  vr1val  22052  iscnp2  23102  resvsca  33277  constrext2chnlem  33713  mrsubfval  35468  msubfval  35484  poimirlem28  37615  0cnv  45713  elfvne0  48810  prcof1  49350