Theorem 0fv 6807

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4269	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5826	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2831	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6798	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∅c0 4261  dom cdm 5588  ‘cfv 6430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-dm 5598  df-iota 6388  df-fv 6438

This theorem is referenced by:  fv2prc  6808  csbfv12  6811  0ov  7305  csbov123  7310  csbov  7311  elovmpt3imp  7517  bropopvvv  7914  bropfvvvvlem  7915  itunisuc  10159  ccat1st1st  14316  str0  16871  ressbasOLD  16929  cntrval  18906  cntzval  18908  cntzrcl  18914  rlmval  20442  chrval  20710  ocvval  20853  elocv  20854  opsrle  21229  opsrbaslem  21231  opsrbaslemOLD  21232  mpfrcl  21276  evlval  21286  psr1val  21338  vr1val  21344  iscnp2  22371  resvsca  31508  mrsubfval  33449  msubfval  33465  poimirlem28  35784  0cnv  43237  elfvne0  46128