Theorem 0fv 6876

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4279	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5870	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6867	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  dom cdm 5625  ‘cfv 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fv 6501

This theorem is referenced by:  fv2prc  6877  csbfv12  6880  0ov  7398  elfvov1  7403  elfvov2  7404  csbov123  7405  csbov  7406  elovmpt3imp  7618  bropopvvv  8034  bropfvvvvlem  8035  itunisuc  10335  ccat1st1st  14585  str0  17153  cntrval  19288  cntzval  19290  cntzrcl  19296  rlmval  21181  chrval  21516  ocvval  21660  elocv  21661  opsrle  22038  opsrbaslem  22040  mpfrcl  22076  evlval  22091  psr1val  22162  vr1val  22168  iscnp2  23217  resvsca  33410  constrext2chnlem  33913  mrsubfval  35709  msubfval  35725  poimirlem28  37986  0cnv  46191  elfvne0  49339  prcof1  49878