Theorem 0fv 6949

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4337	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5930	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6940	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332  dom cdm 5684  ‘cfv 6560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fv 6568

This theorem is referenced by:  fv2prc  6950  csbfv12  6953  0ov  7469  elfvov1  7474  elfvov2  7475  csbov123  7476  csbov  7477  elovmpt3imp  7691  bropopvvv  8116  bropfvvvvlem  8117  itunisuc  10460  ccat1st1st  14667  str0  17227  ressbasOLD  17282  cntrval  19338  cntzval  19340  cntzrcl  19346  rlmval  21199  chrval  21539  ocvval  21686  elocv  21687  opsrle  22066  opsrbaslem  22068  opsrbaslemOLD  22069  mpfrcl  22110  evlval  22120  psr1val  22188  vr1val  22194  iscnp2  23248  resvsca  33357  mrsubfval  35514  msubfval  35530  poimirlem28  37656  0cnv  45762  elfvne0  48763