Theorem 0fv 6957

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4286	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5914	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6948	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  dom cdm 5658  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fv 6574

This theorem is used by:  fv2prc  6958  csbfv12  6961  0ov  7488  elfvov1  7493  elfvov2  7494  csbov123  7495  csbov  7496  elovmpt3imp  7710  bropopvvv  8136  bropfvvvvlem  8137  itunisuc  10536  ccat1st1st  14818  str0  17411  cntrval  19584  cntzval  19586  cntzrcl  19592  rlmval  21517  chrval  21884  ocvval  22028  elocv  22029  opsrle  22411  opsrbaslem  22413  mpfrcl  22449  evlval  22464  psr1val  22559  vr1val  22565  iscnp2  23612  resvsca  33997  constrext2chnlem  34493  mrsubfval  36481  msubfval  36497  poimirlem28  38834  0cnv  47025  elfvne0  50291  prcof1  50854