Theorem 0fv 6920

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4284	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5904	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6911	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  dom cdm 5655  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fv 6541

This theorem is used by:  fv2prc  6921  csbfv12  6924  0ov  7451  elfvov1  7456  elfvov2  7457  csbov123  7458  csbov  7459  elovmpt3imp  7672  bropopvvv  8088  bropfvvvvlem  8089  itunisuc  10422  ccat1st1st  14697  str0  17282  cntrval  19447  cntzval  19449  cntzrcl  19455  rlmval  21376  chrval  21737  ocvval  21881  elocv  21882  opsrle  22264  opsrbaslem  22266  mpfrcl  22302  evlval  22317  psr1val  22412  vr1val  22418  iscnp2  23465  resvsca  33773  constrext2chnlem  34261  mrsubfval  36088  msubfval  36104  poimirlem28  38398  0cnv  46571  elfvne0  49778  prcof1  50315