Theorem 0fv 6845

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4270	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5842	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2828	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6836	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∅c0 4262  dom cdm 5600  ‘cfv 6458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fv 6466

This theorem is referenced by:  fv2prc  6846  csbfv12  6849  0ov  7344  csbov123  7349  csbov  7350  elovmpt3imp  7558  bropopvvv  7962  bropfvvvvlem  7963  itunisuc  10225  ccat1st1st  14384  str0  16939  ressbasOLD  16997  cntrval  18974  cntzval  18976  cntzrcl  18982  rlmval  20510  chrval  20778  ocvval  20921  elocv  20922  opsrle  21297  opsrbaslem  21299  opsrbaslemOLD  21300  mpfrcl  21344  evlval  21354  psr1val  21406  vr1val  21412  iscnp2  22439  resvsca  31578  mrsubfval  33519  msubfval  33535  poimirlem28  35853  0cnv  43512  elfvne0  46420