Theorem 0fv 6923

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4287	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5908	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6914	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  dom cdm 5659  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545

This theorem is used by:  fv2prc  6924  csbfv12  6927  0ov  7454  elfvov1  7459  elfvov2  7460  csbov123  7461  csbov  7462  elovmpt3imp  7675  bropopvvv  8091  bropfvvvvlem  8092  itunisuc  10425  ccat1st1st  14700  str0  17287  cntrval  19452  cntzval  19454  cntzrcl  19460  rlmval  21381  chrval  21742  ocvval  21886  elocv  21887  opsrle  22269  opsrbaslem  22271  mpfrcl  22307  evlval  22322  psr1val  22417  vr1val  22423  iscnp2  23470  resvsca  33780  constrext2chnlem  34268  mrsubfval  36095  msubfval  36111  poimirlem28  38405  0cnv  46578  elfvne0  49785  prcof1  50322