Theorem 0fv 6936

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4331	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5921	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6927	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323  dom cdm 5677  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  fv2prc  6937  csbfv12  6940  0ov  7446  csbov123  7451  csbov  7452  elovmpt3imp  7663  bropopvvv  8076  bropfvvvvlem  8077  itunisuc  10414  ccat1st1st  14578  str0  17122  ressbasOLD  17180  cntrval  19183  cntzval  19185  cntzrcl  19191  rlmval  20813  chrval  21077  ocvval  21220  elocv  21221  opsrle  21602  opsrbaslem  21604  opsrbaslemOLD  21605  mpfrcl  21648  evlval  21658  psr1val  21710  vr1val  21716  iscnp2  22743  resvsca  32444  mrsubfval  34499  msubfval  34515  poimirlem28  36516  0cnv  44458  elfvne0  47515