Theorem 0fv 6964

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4360	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5945	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6955	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  dom cdm 5700  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  fv2prc  6965  csbfv12  6968  0ov  7485  elfvov1  7490  elfvov2  7491  csbov123  7492  csbov  7493  elovmpt3imp  7707  bropopvvv  8131  bropfvvvvlem  8132  itunisuc  10488  ccat1st1st  14676  str0  17236  ressbasOLD  17294  cntrval  19359  cntzval  19361  cntzrcl  19367  rlmval  21221  chrval  21561  ocvval  21708  elocv  21709  opsrle  22088  opsrbaslem  22090  opsrbaslemOLD  22091  mpfrcl  22132  evlval  22142  psr1val  22208  vr1val  22214  iscnp2  23268  resvsca  33321  mrsubfval  35476  msubfval  35492  poimirlem28  37608  0cnv  45663  elfvne0  48562