Theorem 0fv 6684

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4247	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5754	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2881	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6675	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243  dom cdm 5519  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174  ax-pow 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  fv2prc  6685  csbfv12  6688  0ov  7172  csbov123  7177  csbov  7178  elovmpt3imp  7382  bropopvvv  7768  bropfvvvvlem  7769  itunisuc  9830  ccat1st1st  13975  str0  16527  ressbas  16546  cntrval  18441  cntzval  18443  cntzrcl  18449  rlmval  19956  chrval  20217  ocvval  20356  elocv  20357  opsrle  20715  opsrbaslem  20717  mpfrcl  20757  evlval  20767  psr1val  20815  vr1val  20821  iscnp2  21844  resvsca  30954  mrsubfval  32868  msubfval  32884  poimirlem28  35085  0cnv  42384