Theorem cbvexfo 7241

Description: Change bound variable between domain and range of function. (Contributed by NM, 23-Feb-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvfo.1	⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvexfo	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cbvexfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvfo.1	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	notbid 319	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
3	2	cbvfo 7240	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))
4	3	notbid 319	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))
5		dfrex2 3067	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)
6		dfrex2 3067	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)
7	4, 5, 6	3bitr4g 315	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fo 6498  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  f1oweALT  7921  deg1ldg  26082