Theorem cbvexfo 7326

Description: Change bound variable between domain and range of function. (Contributed by NM, 23-Feb-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvfo.1	⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvexfo	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cbvexfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvfo.1	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
3	2	cbvfo 7325	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))
4	3	notbid 318	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))
5		dfrex2 3079	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)
6		dfrex2 3079	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)
7	4, 5, 6	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fo 6579  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  f1oweALT  8013  deg1ldg  26151