MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldg 25845
Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 25833 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2730 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2730 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 21938 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8 deg1ldg.y . . 3 𝑌 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 21928 . . 3 (ℕ0m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 25814 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
123, 4, 11ply1mpl0 21997 . . 3 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
132, 3, 7, 8, 9, 10, 12mdegldg 25819 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)))
14 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (coe1𝐹)
1514fvcoe1 21950 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16153ad2antl2 1184 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))
19 fvex 6903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏‘∅) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6997 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
2120fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2221adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2316, 22eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
2423neeq1d 2998 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → ((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2524anbi1d 628 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹))))
2625biancomd 462 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
2726rexbidva 3174 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
28 df1o2 8475 . . . . . 6 1o = {∅}
29 nn0ex 12482 . . . . . 6 0 ∈ V
30 0ex 5306 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3128, 29, 30, 18mapsnf1o2 8890 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
32 f1ofo 6839 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0)
33 eqeq1 2734 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷𝐹)))
34 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴𝑑))
3534neeq1d 2998 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3633, 35anbi12d 629 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3736cbvexfo 7290 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3831, 32, 37mp2b 10 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3927, 38bitrdi 286 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
401, 4, 11, 6deg1nn0cl 25841 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
41 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐹) → (𝐴𝑑) = (𝐴‘(𝐷𝐹)))
4241neeq1d 2998 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐹) → ((𝐴𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4342ceqsrexv 3642 . . . 4 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4440, 43syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4539, 44bitrd 278 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4613, 45mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wrex 3068  c0 4321  cmpt 5230  ontowfo 6540  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  (class class class)co 7411  1oc1o 8461  m cmap 8822  0cn0 12476  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Ringcrg 20127   mPoly cmpl 21678  PwSer1cps1 21918  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25805  df-deg1 25806
This theorem is referenced by:  deg1ldgn  25846  deg1ldgdomn  25847  deg1add  25856  deg1mul2  25867  drnguc1p  25923  0ringmon1p  32910  irngnzply1lem  33043
  Copyright terms: Public domain W3C validator