MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldg 26146
Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = (deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = (deg1𝑅)
21deg1fval 26134 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2735 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
64, 5ply1bas 22212 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7 deg1ldg.y . . 3 𝑌 = (0g𝑅)
8 psr1baslem 22202 . . 3 (ℕ0m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
9 tdeglem2 26115 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
10 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
113, 4, 10ply1mpl0 22274 . . 3 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
122, 3, 6, 7, 8, 9, 11mdegldg 26120 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)))
13 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (coe1𝐹)
1413fvcoe1 22225 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
15143ad2antl2 1185 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
17 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))
18 fvex 6920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏‘∅) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 7016 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
2019fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2215, 21eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
2322neeq1d 2998 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → ((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2423anbi1d 631 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹))))
2524biancomd 463 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
2625rexbidva 3175 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
27 df1o2 8512 . . . . . 6 1o = {∅}
28 nn0ex 12530 . . . . . 6 0 ∈ V
29 0ex 5313 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3027, 28, 29, 17mapsnf1o2 8933 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
31 f1ofo 6856 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0)
32 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷𝐹)))
33 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴𝑑))
3433neeq1d 2998 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3532, 34anbi12d 632 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3635cbvexfo 7310 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3730, 31, 36mp2b 10 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3826, 37bitrdi 287 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
391, 4, 10, 5deg1nn0cl 26142 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
40 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐹) → (𝐴𝑑) = (𝐴‘(𝐷𝐹)))
4140neeq1d 2998 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐹) → ((𝐴𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4241ceqsrexv 3655 . . . 4 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4339, 42syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4438, 43bitrd 279 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4512, 44mpbid 232 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  c0 4339  cmpt 5231  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  1oc1o 8498  m cmap 8865  0cn0 12524  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Ringcrg 20251   mPoly cmpl 21944  Poly1cpl1 22194  coe1cco1 22195  deg1cdg1 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110
This theorem is referenced by:  deg1ldgn  26147  deg1ldgdomn  26148  deg1add  26157  deg1mul2  26168  deg1mul  26169  drnguc1p  26228  0ringmon1p  33563  ply1unit  33580  ply1dg1rt  33584  irngnzply1lem  33705
  Copyright terms: Public domain W3C validator