Theorem deg1ldg 26320

Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26308	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22423	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1ldg.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22413	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26289	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
10		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
11	3, 4, 10	ply1mpl0 22484	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
12	2, 3, 6, 7, 8, 9, 11	mdegldg 26294	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)))
13		deg1ldg.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
14	13	fvcoe1 22435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
15	14	3ad2antl2 1205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16		fveq1 6878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
17		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))
18		fvex 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏‘∅) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
20	19	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
22	15, 21	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
23	22	neeq1d 3014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
24	23	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹))))
25	24	biancomd 469	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
26	25	rexbidva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
27		df1o2 8465	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
28		nn0ex 12537	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		0ex 5264	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
30	27, 28, 29, 17	mapsnf1o2 8904	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
31		f1ofo 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
32		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷‘𝐹)))
33		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘𝑑))
34	33	neeq1d 3014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
35	32, 34	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
36	35	cbvexfo 7292	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
37	30, 31, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
38	26, 37	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
39	1, 4, 10, 5	deg1nn0cl 26316	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
40		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝑑) = (𝐴‘(𝐷‘𝐹)))
41	40	neeq1d 3014	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → ((𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
42	41	ceqsrexv 3609	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
43	39, 42	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
44	38, 43	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
45	12, 44	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4279   ↦ cmpt 5186  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1_oc1o 8451   ↑_m cmap 8829  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  Ringcrg 20375   mPoly cmpl 22124  Poly₁cpl1 22405  coe₁cco1 22406  deg₁cdg1 26282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-cnfld 21589  df-psr 22127  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-psr1 22408  df-ply1 22410  df-coe1 22411  df-mdeg 26283  df-deg1 26284

This theorem is used by:  deg1ldgn  26321  deg1ldgdomn  26322  deg1add  26331  deg1mul2  26342  deg1mul  26343  drnguc1p  26402  0ringmon1p  33970  ply1unit  33988  ply1dg1rt  33993  irngnzply1lem  34203