Theorem deg1ldg 24357

Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 24345	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2793	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 20034	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		deg1ldg.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 20024	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 24326	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	3, 4, 11	ply1mpl0 20094	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
13	2, 3, 7, 8, 9, 10, 12	mdegldg 24331	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)))
14		deg1ldg.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
15	14	fvcoe1 20046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16	15	3ad2antl2 1177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17		fveq1 6529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18		eqid 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))
19		fvex 6543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏‘∅) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
21	20	fveq2d 6534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
23	16, 22	eqtr4d 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
24	23	neeq1d 3041	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
25	24	anbi1d 629	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹))))
26	25	biancomd 464	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
27	26	rexbidva 3256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
28		df1o2 7958	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
29		nn0ex 11740	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
30		0ex 5096	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
31	28, 29, 30, 18	mapsnf1o2 8297	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1o)–1-1-onto→ℕ0
32		f1ofo 6482	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1o)–onto→ℕ0)
33		eqeq1 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷‘𝐹)))
34		fveq2 6530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘𝑑))
35	34	neeq1d 3041	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
36	33, 35	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
37	36	cbvexfo 6902	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
38	31, 32, 37	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
39	27, 38	syl6bb 288	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
40	1, 4, 11, 6	deg1nn0cl 24353	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
41		fveq2 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝑑) = (𝐴‘(𝐷‘𝐹)))
42	41	neeq1d 3041	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → ((𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
43	42	ceqsrexv 3582	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
44	40, 43	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
45	39, 44	bitrd 280	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
46	13, 45	mpbid 233	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  ∃wrex 3104  ∅c0 4206   ↦ cmpt 5035  –onto→wfo 6215  –1-1-onto→wf1o 6216  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  1_oc1o 7937   ↑_𝑚 cmap 8247  ℕ₀cn0 11734  Basecbs 16300  0_gc0g 16530  Ringcrg 18975   mPoly cmpl 19809  PwSer₁cps1 20014  Poly₁cpl1 20016  coe₁cco1 20017   deg₁ cdg1 24319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-addf 10451  ax-mulf 10452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-sup 8742  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-mulg 17970  df-subg 18018  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-cring 18978  df-psr 19812  df-mpl 19814  df-opsr 19816  df-psr1 20019  df-ply1 20021  df-coe1 20022  df-cnfld 20216  df-mdeg 24320  df-deg1 24321

This theorem is referenced by:  deg1ldgn  24358  deg1ldgdomn  24359  deg1add  24368  deg1mul2  24379  drnguc1p  24435