MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldg 24357
Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 24345 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2793 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2793 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 20034 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8 deg1ldg.y . . 3 𝑌 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 20024 . . 3 (ℕ0𝑚 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 24326 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
123, 4, 11ply1mpl0 20094 . . 3 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
132, 3, 7, 8, 9, 10, 12mdegldg 24331 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)))
14 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (coe1𝐹)
1514fvcoe1 20046 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16153ad2antl2 1177 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17 fveq1 6529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18 eqid 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))
19 fvex 6543 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏‘∅) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
2120fveq2d 6534 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2221adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2316, 22eqtr4d 2832 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
2423neeq1d 3041 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)) → ((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2524anbi1d 629 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹))))
2625biancomd 464 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
2726rexbidva 3256 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
28 df1o2 7958 . . . . . 6 1o = {∅}
29 nn0ex 11740 . . . . . 6 0 ∈ V
30 0ex 5096 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3128, 29, 30, 18mapsnf1o2 8297 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1o)–1-1-onto→ℕ0
32 f1ofo 6482 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1o)–onto→ℕ0)
33 eqeq1 2797 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷𝐹)))
34 fveq2 6530 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴𝑑))
3534neeq1d 3041 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3633, 35anbi12d 630 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3736cbvexfo 6902 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3831, 32, 37mp2b 10 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3927, 38syl6bb 288 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
401, 4, 11, 6deg1nn0cl 24353 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
41 fveq2 6530 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐹) → (𝐴𝑑) = (𝐴‘(𝐷𝐹)))
4241neeq1d 3041 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐹) → ((𝐴𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4342ceqsrexv 3582 . . . 4 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4440, 43syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4539, 44bitrd 280 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4613, 45mpbid 233 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wrex 3104  c0 4206  cmpt 5035  ontowfo 6215  1-1-ontowf1o 6216  cfv 6217  (class class class)co 7007  1oc1o 7937  𝑚 cmap 8247  0cn0 11734  Basecbs 16300  0gc0g 16530  Ringcrg 18975   mPoly cmpl 19809  PwSer1cps1 20014  Poly1cpl1 20016  coe1cco1 20017   deg1 cdg1 24319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-addf 10451  ax-mulf 10452
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-sup 8742  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-mulg 17970  df-subg 18018  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-cring 18978  df-psr 19812  df-mpl 19814  df-opsr 19816  df-psr1 20019  df-ply1 20021  df-coe1 20022  df-cnfld 20216  df-mdeg 24320  df-deg1 24321
This theorem is referenced by:  deg1ldgn  24358  deg1ldgdomn  24359  deg1add  24368  deg1mul2  24379  drnguc1p  24435
  Copyright terms: Public domain W3C validator