Theorem deg1ldg 26051

Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26039	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22133	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1ldg.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22123	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26020	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
10		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
11	3, 4, 10	ply1mpl0 22195	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
12	2, 3, 6, 7, 8, 9, 11	mdegldg 26025	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)))
13		deg1ldg.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
14	13	fvcoe1 22146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
15	14	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16		fveq1 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
17		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))
18		fvex 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏‘∅) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
20	19	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
22	15, 21	eqtr4d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
23	22	neeq1d 2989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
24	23	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹))))
25	24	biancomd 463	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
26	25	rexbidva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
27		df1o2 8402	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
28		nn0ex 12405	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		0ex 5250	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
30	27, 28, 29, 17	mapsnf1o2 8830	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
31		f1ofo 6779	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
32		eqeq1 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷‘𝐹)))
33		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘𝑑))
34	33	neeq1d 2989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
35	32, 34	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
36	35	cbvexfo 7234	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
37	30, 31, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
38	26, 37	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
39	1, 4, 10, 5	deg1nn0cl 26047	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
40		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝑑) = (𝐴‘(𝐷‘𝐹)))
41	40	neeq1d 2989	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → ((𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
42	41	ceqsrexv 3607	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
43	39, 42	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
44	38, 43	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
45	12, 44	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  ∅c0 4283   ↦ cmpt 5177  –onto→wfo 6488  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8761  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  Ringcrg 20166   mPoly cmpl 21860  Poly₁cpl1 22115  coe₁cco1 22116  deg₁cdg1 26013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-cnfld 21308  df-psr 21863  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-ply1 22120  df-coe1 22121  df-mdeg 26014  df-deg1 26015

This theorem is referenced by:  deg1ldgn  26052  deg1ldgdomn  26053  deg1add  26062  deg1mul2  26073  deg1mul  26074  drnguc1p  26133  0ringmon1p  33587  ply1unit  33605  ply1dg1rt  33610  irngnzply1lem  33796