Theorem deg1ldg 26403

Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26391	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22506	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1ldg.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22496	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26372	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
10		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
11	3, 4, 10	ply1mpl0 22567	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
12	2, 3, 6, 7, 8, 9, 11	mdegldg 26377	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)))
13		deg1ldg.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
14	13	fvcoe1 22518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
15	14	3ad2antl2 1205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16		fveq1 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
17		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))
18		fvex 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏‘∅) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
20	19	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
22	15, 21	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
23	22	neeq1d 3015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
24	23	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹))))
25	24	biancomd 469	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
26	25	rexbidva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
27		df1o2 8476	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
28		nn0ex 12605	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		0ex 5261	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
30	27, 28, 29, 17	mapsnf1o2 8915	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
31		f1ofo 6830	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
32		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷‘𝐹)))
33		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘𝑑))
34	33	neeq1d 3015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
35	32, 34	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
36	35	cbvexfo 7296	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
37	30, 31, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
38	26, 37	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
39	1, 4, 10, 5	deg1nn0cl 26399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
40		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝑑) = (𝐴‘(𝐷‘𝐹)))
41	40	neeq1d 3015	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → ((𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
42	41	ceqsrexv 3609	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
43	39, 42	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
44	38, 43	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
45	12, 44	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  ∅c0 4279   ↦ cmpt 5186  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1_oc1o 8462   ↑_m cmap 8840  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  Ringcrg 20452   mPoly cmpl 22207  Poly₁cpl1 22488  coe₁cco1 22489  deg₁cdg1 26365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-cnfld 21672  df-psr 22210  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-psr1 22491  df-ply1 22493  df-coe1 22494  df-mdeg 26366  df-deg1 26367

This theorem is used by:  deg1ldgn  26404  deg1ldgdomn  26405  deg1add  26414  deg1mul2  26425  deg1mul  26426  drnguc1p  26485  0ringmon1p  34082  ply1unit  34100  ply1dg1rt  34105  irngnzply1lem  34315