Theorem deg1ldg 26053

Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26041	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22135	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1ldg.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22125	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26022	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
10		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
11	3, 4, 10	ply1mpl0 22197	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
12	2, 3, 6, 7, 8, 9, 11	mdegldg 26027	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)))
13		deg1ldg.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
14	13	fvcoe1 22148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
15	14	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
17		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))
18		fvex 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏‘∅) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
20	19	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
22	15, 21	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
23	22	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
24	23	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹))))
25	24	biancomd 463	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
26	25	rexbidva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
27		df1o2 8404	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
28		nn0ex 12407	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		0ex 5252	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
30	27, 28, 29, 17	mapsnf1o2 8832	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
31		f1ofo 6781	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
32		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷‘𝐹)))
33		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘𝑑))
34	33	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
35	32, 34	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
36	35	cbvexfo 7236	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
37	30, 31, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
38	26, 37	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
39	1, 4, 10, 5	deg1nn0cl 26049	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
40		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝑑) = (𝐴‘(𝐷‘𝐹)))
41	40	neeq1d 2991	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → ((𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
42	41	ceqsrexv 3609	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
43	39, 42	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
44	38, 43	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
45	12, 44	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5179  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390   ↑_m cmap 8763  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168   mPoly cmpl 21862  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118  deg₁cdg1 26015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mdeg 26016  df-deg1 26017

This theorem is referenced by:  deg1ldgn  26054  deg1ldgdomn  26055  deg1add  26064  deg1mul2  26075  deg1mul  26076  drnguc1p  26135  0ringmon1p  33638  ply1unit  33656  ply1dg1rt  33661  irngnzply1lem  33847