Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldg 24697
 Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 24685 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2801 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2801 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 20828 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8 deg1ldg.y . . 3 𝑌 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 20818 . . 3 (ℕ0m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 24666 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
123, 4, 11ply1mpl0 20888 . . 3 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
132, 3, 7, 8, 9, 10, 12mdegldg 24671 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)))
14 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (coe1𝐹)
1514fvcoe1 20840 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16153ad2antl2 1183 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))
19 fvex 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏‘∅) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6749 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) → ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
2120fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2221adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2316, 22eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
2423neeq1d 3049 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → ((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2524anbi1d 632 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹))))
2625biancomd 467 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
2726rexbidva 3258 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
28 df1o2 8103 . . . . . 6 1o = {∅}
29 nn0ex 11895 . . . . . 6 0 ∈ V
30 0ex 5178 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3128, 29, 30, 18mapsnf1o2 8445 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
32 f1ofo 6601 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0)
33 eqeq1 2805 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷𝐹)))
34 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴𝑑))
3534neeq1d 3049 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3633, 35anbi12d 633 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3736cbvexfo 7028 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3831, 32, 37mp2b 10 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)(((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3927, 38syl6bb 290 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
401, 4, 11, 6deg1nn0cl 24693 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
41 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐹) → (𝐴𝑑) = (𝐴‘(𝐷𝐹)))
4241neeq1d 3049 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐹) → ((𝐴𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4342ceqsrexv 3600 . . . 4 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4440, 43syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4539, 44bitrd 282 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 1o)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4613, 45mpbid 235 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110  ∅c0 4246   ↦ cmpt 5113  –onto→wfo 6326  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1oc1o 8082   ↑m cmap 8393  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16479  0gc0g 16709  Ringcrg 19294   mPoly cmpl 20595  PwSer1cps1 20808  Poly1cpl1 20810  coe1cco1 20811   deg1 cdg1 24659 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-cnfld 20096  df-psr 20598  df-mpl 20600  df-opsr 20602  df-psr1 20813  df-ply1 20815  df-coe1 20816  df-mdeg 24660  df-deg1 24661 This theorem is referenced by:  deg1ldgn  24698  deg1ldgdomn  24699  deg1add  24708  deg1mul2  24719  drnguc1p  24775
 Copyright terms: Public domain W3C validator