Theorem cicfval 17872

Description: The set of isomorphic objects of the category 𝑐. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cicfval	⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))

Proof of Theorem cicfval

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cic 17871	. 2 ⊢ ≃𝑐 = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((Iso‘𝑐) supp ∅))
2		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Iso‘𝑐) = (Iso‘𝐶))
3	2	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((Iso‘𝑐) supp ∅) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
4		id 23	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
5		ovexd 7451	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((Iso‘𝐶) supp ∅) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	fvmptd3 7017	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   supp csupp 8158  Catccat 17738  Isociso 17821   ≃_𝑐 ccic 17870

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-cic 17871

This theorem is used by:  brcic  17873  ciclcl  17877  cicrcl  17878  cicer  17881  relcic  49856