Theorem cicfval 17979

Description: The set of isomorphic objects of the category 𝑐. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cicfval	⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))

Proof of Theorem cicfval

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cic 17978	. 2 ⊢ ≃𝑐 = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((Iso‘𝑐) supp ∅))
2		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Iso‘𝑐) = (Iso‘𝐶))
3	2	oveq1d 7437	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((Iso‘𝑐) supp ∅) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
4		id 23	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
5		ovexd 7457	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((Iso‘𝐶) supp ∅) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	fvmptd3 7020	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   supp csupp 8181  Catccat 17845  Isociso 17928   ≃_𝑐 ccic 17977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-cic 17978

This theorem is used by:  brcic  17980  ciclcl  17984  cicrcl  17985  cicer  17988  relcic  50266