MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cicer Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cicer 17752
Description: Isomorphism is an equivalence relation on objects of a category. Remark 3.16 in [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cicer (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) Er (Baseβ€˜πΆ))

Proof of Theorem cicer
Dummy variables 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopabv 5821 . . . . . 6 Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)}
21a1i 11 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)})
3 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) = ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
43neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (𝑓 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ… ↔ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…))
54rabxp 5724 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)})
76releqd 5778 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Rel {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…} ↔ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)}))
82, 7mpbird 256 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…})
9 isofn 17721 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
10 fvex 6904 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΆ) ∈ V
11 sqxpexg 7741 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜πΆ) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∈ V)
1210, 11mp1i 13 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∈ V)
13 0ex 5307 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ V)
15 suppvalfn 8153 . . . . . 6 (((Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) = {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…})
169, 12, 14, 15syl3anc 1371 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) = {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…})
1716releqd 5778 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Rel ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) ↔ Rel {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…}))
188, 17mpbird 256 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
19 cicfval 17743 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) = ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
2019releqd 5778 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Rel ( ≃𝑐 β€˜πΆ) ↔ Rel ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)))
2118, 20mpbird 256 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel ( ≃𝑐 β€˜πΆ))
22 cicsym 17750 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑦( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯)
23 cictr 17751 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧) β†’ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧)
24233expb 1120 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧)) β†’ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧)
25 cicref 17747 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯)
26 ciclcl 17748 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2725, 26impbida 799 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↔ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯))
2821, 22, 24, 27iserd 8728 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) Er (Baseβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   Γ— cxp 5674  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145   Er wer 8699  Basecbs 17143  Catccat 17607  Isociso 17692   ≃𝑐 ccic 17741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-er 8702  df-cat 17611  df-cid 17612  df-sect 17693  df-inv 17694  df-iso 17695  df-cic 17742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator