MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cicer Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cicer 17753
Description: Isomorphism is an equivalence relation on objects of a category. Remark 3.16 in [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cicer (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) Er (Baseβ€˜πΆ))

Proof of Theorem cicer
Dummy variables 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopabv 5822 . . . . . 6 Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)}
21a1i 11 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)})
3 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) = ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
43neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑓 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ… ↔ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…))
54rabxp 5725 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)})
76releqd 5779 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Rel {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…} ↔ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) β‰  βˆ…)}))
82, 7mpbird 257 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…})
9 isofn 17722 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
10 fvex 6905 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΆ) ∈ V
11 sqxpexg 7742 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜πΆ) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∈ V)
1210, 11mp1i 13 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∈ V)
13 0ex 5308 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ V)
15 suppvalfn 8154 . . . . . 6 (((Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) = {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…})
169, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) = {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…})
1716releqd 5779 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Rel ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) ↔ Rel {𝑓 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∣ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜π‘“) β‰  βˆ…}))
188, 17mpbird 257 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
19 cicfval 17744 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) = ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
2019releqd 5779 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Rel ( ≃𝑐 β€˜πΆ) ↔ Rel ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)))
2118, 20mpbird 257 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ Rel ( ≃𝑐 β€˜πΆ))
22 cicsym 17751 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑦( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯)
23 cictr 17752 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧) β†’ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧)
24233expb 1121 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧)) β†’ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑧)
25 cicref 17748 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯)
26 ciclcl 17749 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2725, 26impbida 800 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↔ π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)π‘₯))
2821, 22, 24, 27iserd 8729 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) Er (Baseβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211   Γ— cxp 5675  Rel wrel 5682   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146   Er wer 8700  Basecbs 17144  Catccat 17608  Isociso 17693   ≃𝑐 ccic 17742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-er 8703  df-cat 17612  df-cid 17613  df-sect 17694  df-inv 17695  df-iso 17696  df-cic 17743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator