Theorem fvmptd3 6768

Description: Deduction version of fvmpt 6745. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		fvmptd3.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		fvmptd3.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
4		fvmptd3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
5	3, 4	fvmptg 6743	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
6	1, 2, 5	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrd  7761  undefval  7925  tz7.44-2  8026  fvdiagfn  8438  resixpfo  8483  fival  8860  cantnfp1lem1  9125  cantnfp1lem2  9126  cantnfp1lem3  9127  wemapwe  9144  rankvalb  9210  djulcl  9323  djuss  9333  1stinl  9340  2ndinl  9341  1stinr  9342  2ndinr  9343  fin23lem27  9739  isf34lem1  9783  canthp1lem2  10064  wuncval  10153  climrlim2  14896  summolem3  15063  prodmolem3  15279  iprodmul  15349  lcmfval  15955  iserodd  16162  mreacs  16921  isofval  17019  isofn  17037  cicfval  17059  initoval  17249  termoval  17250  zerooval  17251  pwsco1mhm  17988  pwsco2mhm  17989  vrmdfval  18013  galactghm  18524  symgfixfolem1  18558  pmtrval  18571  pmtrfv  18572  pmtrdifwrdellem3  18603  gsummhm2  19052  gsummpt1n0  19078  dprdfid  19132  lspval  19740  uvcval  20474  aspval  20559  evlslem3  20752  coe1tmfv1  20903  coe1tmfv2  20904  mat1rhmval  21084  scmatrhmval  21132  marepvval  21172  mply1topmatval  21409  mp2pm2mplem1  21411  chfacfscmulgsum  21465  chfacfpmmulgsum  21469  tgval  21560  ntrval  21641  clsval  21642  opncldf2  21690  neival  21707  lpval  21744  1stcfb  22050  cnmpt11  22268  cnmpt21  22276  cnmptkp  22285  cnmptk1p  22290  ustval  22808  iunmbl  24157  cnmptlimc  24493  limccnp  24494  limcco  24496  coe1termlem  24855  coe1term  24856  ulmval  24975  pserulm  25017  efgh  25133  rlimcnp  25551  xrlimcnp  25554  dchrelbasd  25823  gausslemma2dlem4  25953  2lgslem1b  25976  tgjustr  26268  mirval  26449  midf  26570  ismidb  26572  lmif  26579  islmib  26581  wksfval  27399  crctcshwlkn0lem2  27597  crctcshwlkn0lem3  27598  wwlks  27621  wlkiswwlks2lem2  27656  wlkswwlksf1o  27665  clwwlk  27768  clwlkclwwlkf1  27795  numclwlk2lem2fv  28163  spanval  29116  fsuppcurry1  30487  fsuppcurry2  30488  fzto1stfv1  30793  tocycval  30800  elrspunidl  31014  prmidlval  31020  rprmval  31072  rhmpreimacnlem  31237  indv  31381  esumcvg  31455  omsval  31661  eulerpartlemgvv  31744  cndprobval  31801  reprval  31991  hgt750lemb  32037  satfvsuc  32721  sat1el2xp  32739  fmlasuc0  32744  climlec3  33078  madeval  33402  fwddifval  33736  knoppcnlem1  33945  knoppcnlem9  33953  unbdqndv2lem2  33962  knoppndvlem4  33967  knoppndvlem6  33969  bj-diagval  34589  bj-endval  34729  heiborlem4  35252  heiborlem6  35254  pclvalN  37186  frlmsnic  39453  rabdiophlem2  39743  fphpdo  39758  monotoddzz  39884  dnnumch3lem  39990  pwssplit4  40033  hbtlem1  40067  rgspnval  40112  eliunov2  40380  fvmptiunrelexplb0d  40385  fvmptiunrelexplb1d  40387  dssmapfvd  40718  wessf1ornlem  41811  projf1o  41825  fmuldfeq  42225  clim1fr1  42243  mullimcf  42265  sumnnodd  42272  expfac  42299  fnlimfv  42305  fnlimfvre2  42319  fnlimabslt  42321  limsuplt2  42395  liminfval  42401  limsupge  42403  cncfshift  42516  cncfiooicclem1  42535  fprodsubrecnncnvlem  42549  fprodaddrecnncnvlem  42551  ioodvbdlimc1lem1  42573  ioodvbdlimc1lem2  42574  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem2  42589  dvnprodlem3  42590  itgsinexp  42597  stoweidlem7  42649  stoweidlem17  42659  stoweidlem26  42668  stoweidlem30  42672  stoweidlem31  42673  stoweidlem32  42674  stoweidlem34  42676  wallispilem4  42710  wallispi  42712  stirlinglem3  42718  stirlinglem5  42720  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  dirkercncflem2  42746  etransclem1  42877  etransclem12  42888  etransclem27  42903  etransclem46  42922  etransclem48  42924  sge0snmptf  43076  nnfoctbdjlem  43094  psmeasurelem  43109  psmeasure  43110  meaiuninclem  43119  meaiininclem  43125  carageniuncllem1  43160  carageniuncllem2  43161  caratheodorylem1  43165  0ome  43168  vonval  43179  ovnval  43180  ovnval2b  43191  hoiprodcl2  43194  ovnlecvr  43197  ovncvrrp  43203  ovnsubaddlem1  43209  hsphoif  43215  hoidmvval  43216  hsphoival  43218  ovnhoilem1  43240  hoidifhspval  43247  hspval  43248  ovncvr2  43250  hspmbllem2  43266  ovnsubadd2lem  43284  vonioolem2  43320  vonicclem2  43323  issmflem  43361  smflimsuplem1  43451  smflimsuplem5  43455  smflimsuplem7  43457  fvmptrabdm  43849  sprsymrelfv  44011  prproropf1olem4  44023  fmtno  44046  prmdvdsfmtnof1  44104  upwlksfval  44363  uspgrsprfv  44373  assintopval  44465  lincop  44817  linc1  44834  lincext3  44865  el0ldep  44875  lincresunit2  44887  lincresunit3lem1  44888  blenval  44985  digfval  45011  itcoval  45075  ackval0012  45103  ackval1012  45104  ackval2012  45105  ackval3012  45106  lines  45145  spheres  45160