Theorem ciclcl 17885

Description: Isomorphism implies the left side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ciclcl	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem ciclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cicfval 17880	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
2	1	breqd 5122	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆))
3		isofn 17858	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) ∈ V)
5		0ex 5272	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
7		df-br 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
8		elsuppfng 8171	. . . . . 6 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
9	7, 8	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
10	3, 4, 6, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
11		opelxp1 5705	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
13	10, 12	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶)))
14	2, 13	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶)))
15	14	imp 412	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   supp csupp 8162  Basecbs 17295  Catccat 17746  Isociso 17829   ≃_𝑐 ccic 17878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-inv 17831  df-iso 17832  df-cic 17879

This theorem is used by:  cicsym  17887  cictr  17888  cicer  17889  initoeu2  18099  oppccic  49898  cicerALT  49900  cicpropdlem  49903