MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ciclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ciclcl 17756
Description: Isomorphism implies the left side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ciclcl ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))

Proof of Theorem ciclcl
StepHypRef Expression
1 cicfval 17751 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) = ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
21breqd 5152 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ↔ 𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆))
3 isofn 17729 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
4 fvexd 6899 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Isoβ€˜πΆ) ∈ V)
5 0ex 5300 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ V)
7 df-br 5142 . . . . . 6 (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
8 elsuppfng 8152 . . . . . 6 (((Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (Isoβ€˜πΆ) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…)))
97, 8bitrid 283 . . . . 5 (((Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (Isoβ€˜πΆ) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…)))
103, 4, 6, 9syl3anc 1368 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…)))
11 opelxp1 5711 . . . . 5 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1211adantr 480 . . . 4 ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1310, 12biimtrdi 252 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
142, 13sylbid 239 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
1514imp 406 1 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6531  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   supp csupp 8143  Basecbs 17151  Catccat 17615  Isociso 17700   ≃𝑐 ccic 17749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-inv 17702  df-iso 17703  df-cic 17750
This theorem is referenced by:  cicsym  17758  cictr  17759  cicer  17760  initoeu2  17976
  Copyright terms: Public domain W3C validator