Theorem ciclcl 17894

Description: Isomorphism implies the left side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ciclcl	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem ciclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cicfval 17889	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
2	1	breqd 5114	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆))
3		isofn 17867	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4		fvexd 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) ∈ V)
5		0ex 5264	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
7		df-br 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
8		elsuppfng 8168	. . . . . 6 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
9	7, 8	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
10	3, 4, 6, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
11		opelxp1 5697	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
13	10, 12	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶)))
14	2, 13	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶)))
15	14	imp 412	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   supp csupp 8159  Basecbs 17304  Catccat 17755  Isociso 17838   ≃_𝑐 ccic 17887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-inv 17840  df-iso 17841  df-cic 17888

This theorem is used by:  cicsym  17896  cictr  17897  cicer  17898  initoeu2  18108  oppccic  49973  cicerALT  49975  cicpropdlem  49978