MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ciclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ciclcl 17785
Description: Isomorphism implies the left side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ciclcl ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))

Proof of Theorem ciclcl
StepHypRef Expression
1 cicfval 17780 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ ( ≃𝑐 β€˜πΆ) = ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
21breqd 5159 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ↔ 𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆))
3 isofn 17758 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
4 fvexd 6912 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Isoβ€˜πΆ) ∈ V)
5 0ex 5307 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ V)
7 df-br 5149 . . . . . 6 (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…))
8 elsuppfng 8174 . . . . . 6 (((Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (Isoβ€˜πΆ) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…)))
97, 8bitrid 283 . . . . 5 (((Isoβ€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (Isoβ€˜πΆ) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…)))
103, 4, 6, 9syl3anc 1369 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…)))
11 opelxp1 5720 . . . . 5 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1211adantr 480 . . . 4 ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) ∧ ((Isoβ€˜πΆ)β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1310, 12biimtrdi 252 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅((Isoβ€˜πΆ) supp βˆ…)𝑆 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
142, 13sylbid 239 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
1514imp 406 1 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  Vcvv 3471  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676   Fn wfn 6543  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   supp csupp 8165  Basecbs 17180  Catccat 17644  Isociso 17729   ≃𝑐 ccic 17778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-inv 17731  df-iso 17732  df-cic 17779
This theorem is referenced by:  cicsym  17787  cictr  17788  cicer  17789  initoeu2  18005
  Copyright terms: Public domain W3C validator