Theorem brcic 17861

Description: The relation "is isomorphic to" for categories. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
brcic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		cicfval 17860	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
4	3	breqd 5119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ 𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌))
5		df-br 5109	. . 3 ⊢ (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
7		cic.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Iso‘𝐶))
9	8	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
10	9	neeq1d 3016	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅))
11		df-ov 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
12	11	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌))
14	13	neeq1d 3016	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
15		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ∈ V)
16	15, 15	xpexd 7748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
17		cic.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		cic.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	17, 18	eleqtrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
20		cic.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	20, 18	eleqtrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
22	19, 21	opelxpd 5699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
23		isofn 17838	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
24	1, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
25		fvn0elsuppb 8175	. . . 4 ⊢ ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))) → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
26	16, 22, 24, 25	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
27	10, 14, 26	3bitr3rd 313	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
28	4, 6, 27	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   × cxp 5658   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   supp csupp 8154  Basecbs 17275  Catccat 17726  Isociso 17809   ≃_𝑐 ccic 17858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-inv 17811  df-iso 17812  df-cic 17859

This theorem is used by:  cic  17862  oppccic  49850  cicpropdlem  49855