Theorem brcic 17741

Description: The relation "is isomorphic to" for categories. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
brcic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		cicfval 17740	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
4	3	breqd 5158	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ 𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌))
5		df-br 5148	. . 3 ⊢ (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
7		cic.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Iso‘𝐶))
9	8	fveq1d 6890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
10	9	neeq1d 3001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅))
11		df-ov 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
12	11	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌))
14	13	neeq1d 3001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
15		fvexd 6903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ∈ V)
16	15, 15	xpexd 7733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
17		cic.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		cic.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	17, 18	eleqtrdi 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
20		cic.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	20, 18	eleqtrdi 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
22	19, 21	opelxpd 5713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
23		isofn 17718	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
24	1, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
25		fvn0elsuppb 8161	. . . 4 ⊢ ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))) → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
26	16, 22, 24, 25	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
27	10, 14, 26	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
28	4, 6, 27	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475  ∅c0 4321  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147   × cxp 5673   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   supp csupp 8141  Basecbs 17140  Catccat 17604  Isociso 17689   ≃_𝑐 ccic 17738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-inv 17691  df-iso 17692  df-cic 17739

This theorem is referenced by:  cic  17742