Theorem brcic 17705

Description: The relation "is isomorphic to" for categories. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
brcic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		cicfval 17704	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
4	3	breqd 5103	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ 𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌))
5		df-br 5093	. . 3 ⊢ (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
7		cic.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Iso‘𝐶))
9	8	fveq1d 6824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
10	9	neeq1d 2984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅))
11		df-ov 7352	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
12	11	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌))
14	13	neeq1d 2984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
15		fvexd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ∈ V)
16	15, 15	xpexd 7687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
17		cic.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		cic.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	17, 18	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
20		cic.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	20, 18	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
22	19, 21	opelxpd 5658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
23		isofn 17682	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
24	1, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
25		fvn0elsuppb 8114	. . . 4 ⊢ ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))) → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
26	16, 22, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
27	10, 14, 26	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
28	4, 6, 27	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436  ∅c0 4284  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   supp csupp 8093  Basecbs 17120  Catccat 17570  Isociso 17653   ≃_𝑐 ccic 17702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-inv 17655  df-iso 17656  df-cic 17703

This theorem is referenced by:  cic  17706  oppccic  49039  cicpropdlem  49044