Theorem brcic 17752

Description: The relation "is isomorphic to" for categories. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
brcic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		cicfval 17751	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
4	3	breqd 5159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ 𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌))
5		df-br 5149	. . 3 ⊢ (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
7		cic.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Iso‘𝐶))
9	8	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
10	9	neeq1d 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅))
11		df-ov 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
12	11	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐼𝑌))
14	13	neeq1d 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
15		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ∈ V)
16	15, 15	xpexd 7742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
17		cic.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		cic.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	17, 18	eleqtrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
20		cic.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	20, 18	eleqtrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
22	19, 21	opelxpd 5715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
23		isofn 17729	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
24	1, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
25		fvn0elsuppb 8171	. . . 4 ⊢ ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))) → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
26	16, 22, 24, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Iso‘𝐶)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ≠ ∅ ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅)))
27	10, 14, 26	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
28	4, 6, 27	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473  ∅c0 4322  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   × cxp 5674   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8151  Basecbs 17151  Catccat 17615  Isociso 17700   ≃_𝑐 ccic 17749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-inv 17702  df-iso 17703  df-cic 17750

This theorem is referenced by:  cic  17753