Theorem cicrcl 17772

Description: Isomorphism implies the right side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cicrcl	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem cicrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cicfval 17766	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
2	1	breqd 5121	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆))
3		isofn 17744	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) ∈ V)
5		0ex 5265	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
7		df-br 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
8		elsuppfng 8151	. . . . . 6 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
9	7, 8	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
10	3, 4, 6, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
11		opelxp2 5684	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
13	10, 12	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
14	2, 13	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
15	14	imp 406	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142  Basecbs 17186  Catccat 17632  Isociso 17715   ≃_𝑐 ccic 17764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-inv 17717  df-iso 17718  df-cic 17765

This theorem is referenced by:  cicsym  17773  cictr  17774  initoeu2  17985  oppccic  49037  cicpropdlem  49042