Theorem cicrcl 17765

Description: Isomorphism implies the right side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cicrcl	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem cicrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cicfval 17759	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
2	1	breqd 5097	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 ↔ 𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆))
3		isofn 17737	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4		fvexd 6851	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) ∈ V)
5		0ex 5243	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
7		df-br 5087	. . . . . 6 ⊢ (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
8		elsuppfng 8114	. . . . . 6 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
9	7, 8	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ (Iso‘𝐶) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
10	3, 4, 6, 9	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
11		opelxp2 5669	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
13	10, 12	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
14	2, 13	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
15	14	imp 406	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   × cxp 5624   Fn wfn 6489  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   supp csupp 8105  Basecbs 17174  Catccat 17625  Isociso 17708   ≃_𝑐 ccic 17757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-inv 17710  df-iso 17711  df-cic 17758

This theorem is referenced by:  cicsym  17766  cictr  17767  initoeu2  17978  oppccic  49535  cicpropdlem  49540