Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvcnvintabd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvcnvintabd 43613
Description: Value of the relationship content of the intersection of a class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvcnvintabd.x (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvintabd (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvcnvintabd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvcnv 6212 . . . . . . . . . 10 𝑥 = (𝑥 ∩ (V × V))
21eleq2i 2833 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)))
3 elin 3967 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ (V × V)))
43rbaib 538 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ 𝑦𝑥))
52, 4bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
65bicomd 223 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
76imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V × V) → ((𝜓𝑦𝑥) ↔ (𝜓𝑦𝑥)))
87albidv 1920 . . . . 5 (𝑦 ∈ (V × V) → (∀𝑥(𝜓𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
98pm5.32i 574 . . . 4 ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
10 cnvcnvintabd.x . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
11 pm5.5 361 . . . . . . 7 (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1312bicomd 223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V))))
1413anbi1d 631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
159, 14bitrid 283 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
16 elcnvcnvintab 43595 . . 3 (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
17 vex 3484 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
18 cnvexg 7946 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
19 cnvexg 7946 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21 relcnv 6122 . . . . . 6 Rel 𝑥
22 df-rel 5692 . . . . . 6 (Rel 𝑥𝑥 ⊆ (V × V))
2321, 22mpbi 230 . . . . 5 𝑥 ⊆ (V × V)
2420, 23elmapintrab 43589 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
2524elv 3485 . . 3 (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
2615, 16, 253bitr4g 314 . 2 (𝜑 → (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ 𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)}))
2726eqrdv 2735 1 (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cint 4946   × cxp 5683  ccnv 5684  Rel wrel 5690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator