Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvcnvintabd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvcnvintabd 40156
Description: Value of the relationship content of the intersection of a class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvcnvintabd.x (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvintabd (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvcnvintabd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvcnv 6037 . . . . . . . . . 10 𝑥 = (𝑥 ∩ (V × V))
21eleq2i 2907 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)))
3 elin 3935 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ (V × V)))
43rbaib 542 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ 𝑦𝑥))
52, 4syl5bb 286 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
65bicomd 226 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
76imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V × V) → ((𝜓𝑦𝑥) ↔ (𝜓𝑦𝑥)))
87albidv 1922 . . . . 5 (𝑦 ∈ (V × V) → (∀𝑥(𝜓𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
98pm5.32i 578 . . . 4 ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
10 cnvcnvintabd.x . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
11 pm5.5 365 . . . . . . 7 (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1312bicomd 226 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V))))
1413anbi1d 632 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
159, 14syl5bb 286 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
16 elcnvcnvintab 40138 . . 3 (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
17 vex 3483 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
18 cnvexg 7621 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
19 cnvexg 7621 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21 relcnv 5955 . . . . . 6 Rel 𝑥
22 df-rel 5550 . . . . . 6 (Rel 𝑥𝑥 ⊆ (V × V))
2321, 22mpbi 233 . . . . 5 𝑥 ⊆ (V × V)
2420, 23elmapintrab 40132 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
2524elv 3485 . . 3 (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
2615, 16, 253bitr4g 317 . 2 (𝜑 → (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ 𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)}))
2726eqrdv 2822 1 (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  {cab 2802  {crab 3137  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  𝒫 cpw 4522   cint 4863   × cxp 5541  ccnv 5542  Rel wrel 5548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-dm 5553  df-rn 5554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator