Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvcnvintabd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvcnvintabd 43303
Description: Value of the relationship content of the intersection of a class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvcnvintabd.x (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvintabd (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvcnvintabd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvcnv 6195 . . . . . . . . . 10 𝑥 = (𝑥 ∩ (V × V))
21eleq2i 2818 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)))
3 elin 3964 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ (V × V)))
43rbaib 537 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ 𝑦𝑥))
52, 4bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
65bicomd 222 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
76imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V × V) → ((𝜓𝑦𝑥) ↔ (𝜓𝑦𝑥)))
87albidv 1916 . . . . 5 (𝑦 ∈ (V × V) → (∀𝑥(𝜓𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
98pm5.32i 573 . . . 4 ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
10 cnvcnvintabd.x . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
11 pm5.5 360 . . . . . . 7 (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1312bicomd 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V))))
1413anbi1d 629 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
159, 14bitrid 282 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
16 elcnvcnvintab 43285 . . 3 (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
17 vex 3468 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
18 cnvexg 7928 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
19 cnvexg 7928 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21 relcnv 6106 . . . . . 6 Rel 𝑥
22 df-rel 5681 . . . . . 6 (Rel 𝑥𝑥 ⊆ (V × V))
2321, 22mpbi 229 . . . . 5 𝑥 ⊆ (V × V)
2420, 23elmapintrab 43279 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
2524elv 3470 . . 3 (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
2615, 16, 253bitr4g 313 . 2 (𝜑 → (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ 𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)}))
2726eqrdv 2724 1 (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1532   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  {cab 2703  {crab 3420  Vcvv 3464  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4599   cint 4948   × cxp 5672  ccnv 5673  Rel wrel 5679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-br 5146  df-opab 5208  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-dm 5684  df-rn 5685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator