Theorem cnvepima 38936

Description: The image of converse epsilon. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnvepima	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Proof of Theorem cnvepima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 38935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		uniqs 8774	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
4		qsid 8782	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
5	4	unieqi 4889	. 2 ⊢ ∪ (𝐴 / ◡ E ) = ∪ 𝐴
6	3, 5	eqtr3di 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462  ∪ cuni 4877   E cep 5564  ^◡ccnv 5664   ↾ cres 5667   “ cima 5668   / cqs 8696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-eprel 5565  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ec 8699  df-qs 8703

This theorem is referenced by: (None)