Theorem cnvepima 38678

Description: The image of converse epsilon. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnvepima	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Proof of Theorem cnvepima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 38677	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		uniqs 8715	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
4		qsid 8723	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
5	4	unieqi 4863	. 2 ⊢ ∪ (𝐴 / ◡ E ) = ∪ 𝐴
6	3, 5	eqtr3di 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∪ cuni 4851   E cep 5525  ^◡ccnv 5625   ↾ cres 5628   “ cima 5629   / cqs 8637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-eprel 5526  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ec 8640  df-qs 8644

This theorem is referenced by: (None)