Theorem cnvepima 36209

Description: The image of converse epsilon. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnvepima	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Proof of Theorem cnvepima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 36206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		uniqsALTV 36201	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
4		qsid 8465	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
5	4	unieqi 4832	. 2 ⊢ ∪ (𝐴 / ◡ E ) = ∪ 𝐴
6	3, 5	eqtr3di 2793	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ∪ cuni 4819   E cep 5459  ^◡ccnv 5550   ↾ cres 5553   “ cima 5554   / cqs 8390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-eprel 5460  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ec 8393  df-qs 8397

This theorem is referenced by: (None)