Theorem cnvepima 38313

Description: The image of converse epsilon. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnvepima	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Proof of Theorem cnvepima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 38310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		uniqsALTV 38305	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
4		qsid 8805	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
5	4	unieqi 4899	. 2 ⊢ ∪ (𝐴 / ◡ E ) = ∪ 𝐴
6	3, 5	eqtr3di 2784	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ∪ cuni 4887   E cep 5563  ^◡ccnv 5664   ↾ cres 5667   “ cima 5668   / cqs 8726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-eprel 5564  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ec 8729  df-qs 8733

This theorem is referenced by: (None)