Theorem cnvepima 38469

Description: The image of converse epsilon. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnvepima	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Proof of Theorem cnvepima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 38468	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		uniqs 8709	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (𝐴 / ◡ E ) = (◡ E “ 𝐴))
4		qsid 8716	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
5	4	unieqi 4873	. 2 ⊢ ∪ (𝐴 / ◡ E ) = ∪ 𝐴
6	3, 5	eqtr3di 2784	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) = ∪ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ∪ cuni 4861   E cep 5521  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   “ cima 5625   / cqs 8632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-eprel 5522  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8635  df-qs 8639

This theorem is referenced by: (None)