Theorem cnvepimaex 37718

Description: The image of converse epsilon exists, proof via imaexALTV 37712 (see also cnvepima 37719 and uniexg 7727 for alternate way). (Contributed by Peter Mazsa, 22-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnvepimaex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem cnvepimaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 37716	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2		imaexALTV 37712	. . 3 ⊢ ((◡ E ∈ V ∨ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → (◡ E “ 𝐴) ∈ V)
3	2	olcs 873	. 2 ⊢ (((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡ E “ 𝐴) ∈ V)
4	1, 3	mpancom 685	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E “ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   E cep 5572  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671   “ cima 5672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-eprel 5573  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ec 8707  df-qs 8711

This theorem is referenced by: (None)