Theorem cnvtrucl0 44075

Description: The converse of the trivial closure is equal to the closure of the converse. (Contributed by RP, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvtrucl0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ◡∩ {𝑥 ∣ (𝑋 ⊆ 𝑥 ∧ ⊤)} = ∩ {𝑦 ∣ (◡𝑋 ⊆ 𝑦 ∧ ⊤)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑉   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem cnvtrucl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = (◡𝑦 ∪ (𝑋 ∖ ◡◡𝑋))) → (⊤ → ⊤))
2		idd 24	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 = ◡𝑥) → (⊤ → ⊤))
3		biidd 262	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⊤ ↔ ⊤))
4		ssidd 3946	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
5		elex 3451	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
6		trud 1552	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⊤)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	clcnvlem 44074	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ◡∩ {𝑥 ∣ (𝑋 ⊆ 𝑥 ∧ ⊤)} = ∩ {𝑦 ∣ (◡𝑋 ⊆ 𝑦 ∧ ⊤)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∩ cint 4890  ^◡ccnv 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fv 6502  df-1st 7937  df-2nd 7938

This theorem is referenced by: (None)