Theorem cnvtrucl0 43630

Description: The converse of the trivial closure is equal to the closure of the converse. (Contributed by RP, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvtrucl0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ◡∩ {𝑥 ∣ (𝑋 ⊆ 𝑥 ∧ ⊤)} = ∩ {𝑦 ∣ (◡𝑋 ⊆ 𝑦 ∧ ⊤)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑉   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem cnvtrucl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = (◡𝑦 ∪ (𝑋 ∖ ◡◡𝑋))) → (⊤ → ⊤))
2		idd 24	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 = ◡𝑥) → (⊤ → ⊤))
3		biidd 262	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⊤ ↔ ⊤))
4		ssidd 4022	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
5		elex 3502	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
6		trud 1549	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⊤)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	clcnvlem 43629	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ◡∩ {𝑥 ∣ (𝑋 ⊆ 𝑥 ∧ ⊤)} = ∩ {𝑦 ∣ (◡𝑋 ⊆ 𝑦 ∧ ⊤)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714   ∖ cdif 3963   ∪ cun 3964   ⊆ wss 3966  ∩ cint 4954  ^◡ccnv 5692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577  df-1st 8022  df-2nd 8023

This theorem is referenced by: (None)