Theorem cnvtrucl0 43599

Description: The converse of the trivial closure is equal to the closure of the converse. (Contributed by RP, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvtrucl0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ◡∩ {𝑥 ∣ (𝑋 ⊆ 𝑥 ∧ ⊤)} = ∩ {𝑦 ∣ (◡𝑋 ⊆ 𝑦 ∧ ⊤)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑉   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem cnvtrucl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = (◡𝑦 ∪ (𝑋 ∖ ◡◡𝑋))) → (⊤ → ⊤))
2		idd 24	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 = ◡𝑥) → (⊤ → ⊤))
3		biidd 262	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⊤ ↔ ⊤))
4		ssidd 3987	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
5		elex 3484	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
6		trud 1549	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⊤)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	clcnvlem 43598	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ◡∩ {𝑥 ∣ (𝑋 ⊆ 𝑥 ∧ ⊤)} = ∩ {𝑦 ∣ (◡𝑋 ⊆ 𝑦 ∧ ⊤)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  {cab 2712   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  ∩ cint 4926  ^◡ccnv 5664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-1st 7996  df-2nd 7997

This theorem is referenced by: (None)