Theorem cosselcnvrefrels3 38641

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be an element of the converse reflexive relation class. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselcnvrefrels3	⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cosselcnvrefrels3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosselcnvrefrels2 38640	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cossssid3 38581	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
3	2	anbi1i 624	. 2 ⊢ (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   I cid 5508   ≀ ccoss 38232   Rels crels 38234   CnvRefRels ccnvrefrels 38240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-rels 38474  df-coss 38523  df-ssr 38600  df-cnvrefs 38627  df-cnvrefrels 38628

This theorem is referenced by:  dffunsALTV3  38793  elfunsALTV3  38802