Theorem cosselcnvrefrels3 38262

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be an element of the converse reflexive relation class. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselcnvrefrels3	⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cosselcnvrefrels3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosselcnvrefrels2 38261	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cossssid3 38192	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
3	2	anbi1i 622	. 2 ⊢ (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitri 274	1 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  ∀wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ⊆ wss 3956   class class class wbr 5153   I cid 5580   ≀ ccoss 37901   Rels crels 37903   CnvRefRels ccnvrefrels 37909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5434  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3428  df-v 3473  df-dif 3959  df-un 3961  df-in 3963  df-ss 3973  df-nul 4333  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5154  df-opab 5216  df-id 5581  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-coss 38134  df-rels 38208  df-ssr 38221  df-cnvrefs 38248  df-cnvrefrels 38249

This theorem is referenced by:  dffunsALTV3  38408  elfunsALTV3  38417