Theorem cosselcnvrefrels3 36653

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be an element of the converse reflexive relation class. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselcnvrefrels3	⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cosselcnvrefrels3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosselcnvrefrels2 36652	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cossssid3 36587	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
3	2	anbi1i 624	. 2 ⊢ (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitri 274	1 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   I cid 5488   ≀ ccoss 36333   Rels crels 36335   CnvRefRels ccnvrefrels 36341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-coss 36537  df-rels 36603  df-ssr 36616  df-cnvrefs 36641  df-cnvrefrels 36642

This theorem is referenced by:  dffunsALTV3  36796  elfunsALTV3  36805