Theorem cosselcnvrefrels4 36297

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be an element of the converse reflexive relation class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselcnvrefrels4	⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥 ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem cosselcnvrefrels4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosselcnvrefrels2 36295	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cossssid4 36231	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥)
3	2	anbi1i 627	. 2 ⊢ (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥 ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitri 278	1 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥 ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538   ⊆ wss 3843   class class class wbr 5030   I cid 5428   ≀ ccoss 35976   Rels crels 35978   CnvRefRels ccnvrefrels 35984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-coss 36180  df-rels 36246  df-ssr 36259  df-cnvrefs 36284  df-cnvrefrels 36285

This theorem is referenced by:  dffunsALTV4  36440  elfunsALTV4  36449