Theorem cosselcnvrefrels4 39237

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be an element of the converse reflexive relation class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselcnvrefrels4	⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥 ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem cosselcnvrefrels4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosselcnvrefrels2 39235	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cossssid4 39177	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥)
3	2	anbi1i 635	. 2 ⊢ (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥 ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitri 278	1 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∃*𝑥 𝑢𝑅𝑥 ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1566   ∈ wcel 2141  ∃*wmo 2563   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108   I cid 5555   ≀ ccoss 38800   Rels crels 38802   CnvRefRels ccnvrefrels 38808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-rels 39057  df-coss 39118  df-ssr 39195  df-cnvrefs 39222  df-cnvrefrels 39223

This theorem is referenced by:  dffunsALTV4  39388  elfunsALTV4  39397