Theorem cvmsn0 35631

Description: An even covering is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmsn0	⊢ (𝑇 ∈ (𝑆‘𝑈) → 𝑇 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑠,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem cvmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmcov.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2	1	cvmsi 35628	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑆‘𝑈) → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ (𝑇 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ (∪ 𝑇 = (◡𝐹 “ 𝑈) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑇 (∀𝑣 ∈ (𝑇 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑈))))))
3	2	simp2d 1159	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑆‘𝑈) → (𝑇 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑇 ≠ ∅))
4	3	simprd 500	1 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑆‘𝑈) → 𝑇 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  {crab 3417   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  ∪ cuni 4868   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5651   ↾ cres 5654   “ cima 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↾_t crest 17463  Homeochmeo 23871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403

This theorem is referenced by:  cvmsss2  35637  cvmfolem  35642