Theorem dfdisjs5 39730

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs5	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑣

Proof of Theorem dfdisjs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 39727	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid5 39501	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟))
3		elrelsrelim 39376	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → Rel 𝑟)
4	3	biantrud 541	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟)))
5	3	biantrud 541	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟)))
6	4, 5	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)) ↔ (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟))))
7	2, 6	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)))
8	1, 7	rabimbieq 39186	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   I cid 5544  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  Rel wrel 5655  [cec 8715   ≀ ccoss 39116   Rels crels 39118   Disjs cdisjs 39151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ec 8719  df-rels 39373  df-coss 39434  df-ssr 39511  df-cnvrefs 39538  df-cnvrefrels 39539  df-disjss 39721  df-disjs 39722

This theorem is used by: (None)