Theorem dfdisjs5 39118

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs5	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑣

Proof of Theorem dfdisjs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 39115	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid5 38889	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟))
3		elrelsrelim 38764	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → Rel 𝑟)
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟)))
5	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟)))
6	4, 5	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)) ↔ (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟))))
7	2, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)))
8	1, 7	rabimbieq 38574	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   I cid 5525  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  [cec 8641   ≀ ccoss 38504   Rels crels 38506   Disjs cdisjs 38539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ec 8645  df-rels 38761  df-coss 38822  df-ssr 38899  df-cnvrefs 38926  df-cnvrefrels 38927  df-disjss 39109  df-disjs 39110

This theorem is referenced by: (None)