Theorem dfdisjs5 39508

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs5	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑣

Proof of Theorem dfdisjs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 39505	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid5 39279	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟))
3		elrelsrelim 39154	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → Rel 𝑟)
4	3	biantrud 541	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟)))
5	3	biantrud 541	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟)))
6	4, 5	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)) ↔ (( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ Rel 𝑟) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅) ∧ Rel 𝑟))))
7	2, 6	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)))
8	1, 7	rabimbieq 38964	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑢 ∈ dom 𝑟∀𝑣 ∈ dom 𝑟(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑟 ∩ [𝑣]𝑟) = ∅)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   I cid 5557  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  Rel wrel 5668  [cec 8698   ≀ ccoss 38894   Rels crels 38896   Disjs cdisjs 38929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ec 8702  df-rels 39151  df-coss 39212  df-ssr 39289  df-cnvrefs 39316  df-cnvrefrels 39317  df-disjss 39499  df-disjs 39500

This theorem is used by: (None)