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Theorem disjiun 5136
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 5115 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)
2 elin 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵))
3 eliun 5002 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐶 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵)
4 eliun 5002 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐷 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)
53, 4anbi12i 628 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
62, 5bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
7 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑦𝐵
87rmo2 3882 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
9 an4 655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ↔ ((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)))
10 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧)))
1110impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶𝐴) → ∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
12 r19.29 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → ∃𝑥𝐶 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
1413imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑧)
1514eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
1615biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐶 → (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶))
1716rexlimiv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑥𝐶 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶)
1918ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵𝑧𝐶))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶𝐴) → (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵𝑧𝐶))
2120expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶))
22 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧)))
2322impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷𝐴) → ∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
24 r19.29 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → ∃𝑥𝐷 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵))
2514eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐷𝑧𝐷))
2625biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐷 → (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷))
2726rexlimiv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑥𝐷 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷)
2824, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷)
2928ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵𝑧𝐷))
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷𝐴) → (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵𝑧𝐷))
3130expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷))
3221, 31anim12d 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝑧𝐶𝑧𝐷)))
33 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐶𝑧𝐷) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
3432, 33syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
3534exlimiv 1934 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
369, 35biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
3736expd 417 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
388, 37sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
3938impcom 409 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
406, 39biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
4140necon2bd 2957 . . . . . . 7 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4241impancom 453 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
43423impa 1111 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4443alimdv 1920 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
451, 44biimtrid 241 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (Disj 𝑥𝐴 𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4645impcom 409 . 2 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
47 eq0 4344 . 2 (( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
4846, 47sylibr 233 1 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  ∃*wrmo 3376  cin 3948  wss 3949  c0 4323   ciun 4998  Disj wdisj 5114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-v 3477  df-dif 3952  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-iun 5000  df-disj 5115
This theorem is referenced by:  disjxiun  5146  fsumiun  15767  uniioombllem4  25103  disjiun2  43745  sge0iunmptlemfi  45129
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