Theorem disjiun 5102

Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
disjiun	⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjiun

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disj 5082	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
2		elin 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵))
3		eliun 4965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵)
4		eliun 4965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	anbi12i 640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 5	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵))
7		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 ∈ 𝐵
8	7	rmo2 3843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧))
9		an4 669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵)))
10		ssralv 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧)))
11	10	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧))
12		r19.29 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
13		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧))
14	13	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 = 𝑧)
15	14	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑧 ∈ 𝐶))
16	15	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → (((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶))
17	16	rexlimiv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
18	12, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
19	18	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐶))
20	11, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐶))
21	20	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶))
22		ssralv 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧)))
23	22	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧))
24		r19.29 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
25	14	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑧 ∈ 𝐷))
26	25	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐷))
27	26	rexlimiv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐷)
28	24, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐷)
29	28	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐷))
30	23, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐷))
31	30	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐷))
32	21, 31	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷)))
33		inelcm 4428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
34	32, 33	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
35	34	exlimiv 1963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
36	9, 35	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
37	36	expd 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑧) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → ((∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅)))
38	8, 37	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → ((∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅)))
39	38	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵) → ((∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
40	6, 39	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
41	40	necon2bd 2977	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵)))
42	41	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵)))
43	42	3impa 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵)))
44	43	alimdv 1949	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅) → (∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵)))
45	1, 44	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵)))
46	45	impcom 413	. 2 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)) → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵))
47		eq0 4307	. 2 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵))
48	46, 47	sylibr 237	1 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐷 𝐵) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  ∃*wrmo 3371   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ∪ ciun 4961  Disj wdisj 5081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-v 3460  df-dif 3911  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-iun 4963  df-disj 5082

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