MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumiun 15578
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
fsumiun.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumiun (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3948 . 2 𝐴𝐴
2 fsumiun.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3951 . . . . . 6 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 iuneq1 4947 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
5 0iun 4999 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
64, 5eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → 𝑥𝑢 𝐵 = ∅)
76sumeq1d 15458 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
8 sumeq1 15445 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
97, 8eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑢 = ∅ → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))
103, 9imbi12d 345 . . . . 5 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1110imbi2d 341 . . . 4 (𝑢 = ∅ → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))))
12 sseq1 3951 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢𝐴𝑧𝐴))
13 iuneq1 4947 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑧 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥𝑧 𝐵)
1413sumeq1d 15458 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)
15 sumeq1 15445 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)
1614, 15eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑧 → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))
1712, 16imbi12d 345 . . . . 5 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1817imbi2d 341 . . . 4 (𝑢 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))))
19 sseq1 3951 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑢𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴))
20 iuneq1 4947 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
2120sumeq1d 15458 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)
22 sumeq1 15445 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)
2321, 22eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))
2419, 23imbi12d 345 . . . . 5 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
2524imbi2d 341 . . . 4 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
26 sseq1 3951 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢𝐴𝐴𝐴))
27 iuneq1 4947 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝐴 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐵)
2827sumeq1d 15458 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
29 sumeq1 15445 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
3028, 29eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))
3126, 30imbi12d 345 . . . . 5 (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
3231imbi2d 341 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))))
33 sum0 15478 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
34 sum0 15478 . . . . . 6 Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3533, 34eqtr4i 2767 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶
36352a1i 12 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))
37 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
3837unssad 4127 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
3938imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))
40 oveq1 7314 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
41 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝐵
42 nfcsb1v 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
43 csbeq1a 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4441, 42, 43cbviun 4973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = 𝑧 ∈ {𝑤}𝑧 / 𝑥𝐵
45 vex 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ V
46 csbeq1 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
4745, 46iunxsn 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ {𝑤}𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵
4844, 47eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵
4948ineq2i 4149 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5238adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
53 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
5453unssbd 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
55 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤𝑧)
56 disjsn 4651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤𝑧)
5755, 56sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
58 disjiun 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝑧𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
6049, 59eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
61 iunxun 5030 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
6248uneq2i 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
6361, 62eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵))
652ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6665, 53ssfid 9086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
67 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
6867ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
70 ssralv 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin))
7153, 69, 70sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
72 iunfi 9151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
7366, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
74 iunss1 4945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
7675sselda 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
77 eliun 4935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
78 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
7978rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8079ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8177, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8281imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
8376, 82syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
8460, 64, 73, 83fsumsplit 15498 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
85 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) = (𝑧 ∪ {𝑤}))
8653sselda 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
8778anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
8867, 87fsumcl 15490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
8988ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9089ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9190r19.21bi 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9286, 91syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9357, 85, 66, 92fsumsplit 15498 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶))
94 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧Σ𝑘𝐵 𝐶
95 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐶
9642, 95nfsum 15447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶
9743sumeq1d 15458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
9894, 96, 97cbvsumi 15454 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶
9945snss 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐴 ↔ {𝑤} ⊆ 𝐴)
10054, 99sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤𝐴)
101 nfcsb1v 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
102101, 95nfsum 15447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶
103102nfel1 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ
104 csbeq1a 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
105104sumeq1d 15458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
106105eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ))
107103, 106rspc 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ))
108100, 90, 107sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ)
10946sumeq1d 15458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
110109sumsn 15503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ V ∧ Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
11145, 108, 110sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
11298, 111eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
113112oveq2d 7323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
11493, 113eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
11584, 114eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
11640, 115syl5ibr 246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))
117116ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
118117a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
11939, 118syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) → ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
120119expcom 415 . . . . . 6 𝑤𝑧 → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
121120a2d 29 . . . . 5 𝑤𝑧 → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
122121adantl 483 . . . 4 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧) → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
12311, 18, 25, 32, 36, 122findcard2s 8986 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1242, 123mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))
1251, 124mpi 20 1 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3437  csb 3837  cun 3890  cin 3891  wss 3892  c0 4262  {csn 4565   ciun 4931  Disj wdisj 5046  (class class class)co 7307  Fincfn 8764  cc 10915  0cc0 10917   + caddc 10920  Σcsu 15442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-disj 5047  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-sum 15443
This theorem is referenced by:  hashiun  15579  incexc2  15595  musum  26385  breprexplema  32655  fsumiunss  43165
  Copyright terms: Public domain W3C validator