Theorem fsumiun 15784

Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiun.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumiun	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumiun

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3944	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		fsumiun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		sseq1 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4		iuneq1 4950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
5		0iun 5005	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∅)
7	6	sumeq1d 15662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
8		sumeq1 15651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
9	7, 8	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
10	3, 9	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
11	10	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
12		sseq1 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑧 ⊆ 𝐴))
13		iuneq1 4950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵)
14	13	sumeq1d 15662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶)
15		sumeq1 15651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
16	14, 15	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
17	12, 16	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
18	17	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
19		sseq1 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴))
20		iuneq1 4950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
21	20	sumeq1d 15662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)
22		sumeq1 15651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
23	21, 22	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
24	19, 23	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
25	24	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
26		sseq1 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
27		iuneq1 4950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
28	27	sumeq1d 15662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
29		sumeq1 15651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
30	28, 29	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
31	26, 30	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
32	31	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
33		sum0 15683	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
34		sum0 15683	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = 0
35	33, 34	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
36	35	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
37		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
38	37	unssad 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ⊆ 𝐴)
39	38	imim1i 63	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
40		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
41		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝐵
42		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
43		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
44	41, 42, 43	cbviun 4977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
45		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑤 ∈ V
46		csbeq1 3840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
47	45, 46	iunxsn 5033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
48	44, 47	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
49	48	ineq2i 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
50		fsumiun.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
52	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
54	53	unssbd 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
55		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
56		disjsn 4655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
57	55, 56	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
58		disjiun 5073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
59	51, 52, 54, 57, 58	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
60	49, 59	eqtr3id 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
61		iunxun 5036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
62	48	uneq2i 4105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
63	61, 62	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
65	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
66	65, 53	ssfid 9179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
67		fsumiun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
68	67	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
69	68	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
70		ssralv 3990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin))
71	53, 69, 70	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
72		iunfi 9253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
73	66, 71, 72	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
74		iunss1 4948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
76	75	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
77		eliun 4937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
78		fsumiun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
79	78	rexlimdvaa 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
80	79	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
81	77, 80	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
82	81	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
83	76, 82	syldan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
84	60, 64, 73, 83	fsumsplit 15703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
85		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) = (𝑧 ∪ {𝑤}))
86	53	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
87	78	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
88	67, 87	fsumcl 15695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
89	88	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
90	89	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
91	90	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
92	86, 91	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
93	57, 85, 66, 92	fsumsplit 15703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
94	43	sumeq1d 15662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
95		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
96		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
97	42, 96	nfsum 15653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
98	94, 95, 97	cbvsum 15657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
99	45	snss 4728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ {𝑤} ⊆ 𝐴)
100	54, 99	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
101		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
102	101, 96	nfsum 15653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶
103	102	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ
104		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
105	104	sumeq1d 15662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
106	105	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
107	103, 106	rspc 3552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
108	100, 90, 107	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ)
109	46	sumeq1d 15662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
110	109	sumsn 15708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
111	45, 108, 110	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
112	98, 111	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
113	112	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
114	93, 113	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
115	84, 114	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)))
116	40, 115	imbitrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
117	116	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
118	117	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
119	39, 118	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
120	119	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝑧 → (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
121	120	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝑧 → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
122	121	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
123	11, 18, 25, 32, 36, 122	findcard2s 9100	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
124	2, 123	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
125	1, 124	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ⦋csb 3837   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ∪ ciun 4933  Disj wdisj 5052  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  hashiun  15785  incexc2  15803  musum  27154  breprexplema  34774  fsumiunss  46005