Theorem fsumiun 15988

Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiun.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumiun	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumiun

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		fsumiun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4		iuneq1 4968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
5		0iun 5021	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∅)
7	6	sumeq1d 15867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
8		sumeq1 15856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
9	7, 8	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
10	3, 9	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
11	10	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
12		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑧 ⊆ 𝐴))
13		iuneq1 4968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵)
14	13	sumeq1d 15867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶)
15		sumeq1 15856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
16	14, 15	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
17	12, 16	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
18	17	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
19		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴))
20		iuneq1 4968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
21	20	sumeq1d 15867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)
22		sumeq1 15856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
23	21, 22	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
24	19, 23	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
25	24	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
26		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
27		iuneq1 4968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
28	27	sumeq1d 15867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
29		sumeq1 15856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
30	28, 29	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
31	26, 30	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
32	31	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
33		sum0 15887	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
34		sum0 15887	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = 0
35	33, 34	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
36	35	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
37		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
38	37	unssad 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ⊆ 𝐴)
39	38	imim1i 64	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
40		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
41		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝐵
42		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
43		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
44	41, 42, 43	cbviun 4993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
45		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑤 ∈ V
46		csbeq1 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
47	45, 46	iunxsn 5051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
48	44, 47	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
49	48	ineq2i 4163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
50		fsumiun.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
52	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
54	53	unssbd 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
55		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
56		disjsn 4672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
57	55, 56	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
58		disjiun 5091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
59	51, 52, 54, 57, 58	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
60	49, 59	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
61		iunxun 5054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
62	48	uneq2i 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
63	61, 62	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
65	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
66	65, 53	ssfid 9260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
67		fsumiun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
68	67	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
69	68	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
70		ssralv 4000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin))
71	53, 69, 70	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
72		iunfi 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
73	66, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
74		iunss1 4966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
76	75	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
77		eliun 4955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
78		fsumiun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
79	78	rexlimdvaa 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
80	79	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
81	77, 80	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
82	81	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
83	76, 82	syldan 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
84	60, 64, 73, 83	fsumsplit 15907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
85		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) = (𝑧 ∪ {𝑤}))
86	53	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
87	78	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
88	67, 87	fsumcl 15899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
89	88	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
90	89	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
91	90	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
92	86, 91	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
93	57, 85, 66, 92	fsumsplit 15907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
94	43	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
95		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
96		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
97	42, 96	nfsum 15858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
98	94, 95, 97	cbvsum 15862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
99	45	snss 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ {𝑤} ⊆ 𝐴)
100	54, 99	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
101		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
102	101, 96	nfsum 15858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶
103	102	nfel1 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ
104		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
105	104	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
106	105	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
107	103, 106	rspc 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
108	100, 90, 107	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ)
109	46	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
110	109	sumsn 15912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
111	45, 108, 110	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
112	98, 111	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
113	112	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
114	93, 113	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
115	84, 114	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)))
116	40, 115	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
117	116	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
118	117	a2d 30	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
119	39, 118	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
120	119	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝑧 → (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
121	120	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝑧 → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
122	121	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
123	11, 18, 25, 32, 36, 122	findcard2s 9181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
124	2, 123	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
125	1, 124	mpi 21	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  ⦋csb 3847   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854

This theorem is used by:  hashiun  15989  incexc2  16007  musum  27518  breprexplema  35259  fsumiunss  46586