MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem4 25336
Description: Lemma for uniioombl 25339. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
uniioombl.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
uniioombl.n2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
uniioombl.l 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,π‘₯,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗,π‘₯   𝑗,𝐾,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑀,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑁,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑇,𝑖,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐸(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐾(𝑖)   𝐿(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem uniioombllem4
StepHypRef Expression
1 inss1 4229 . . 3 (𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾
2 uniioombl.k . . . . 5 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
3 imassrn 6071 . . . . . 6 (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐺)
43unissi 4918 . . . . 5 βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
52, 4eqsstri 4017 . . . 4 𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
6 uniioombl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
76uniiccdif 25328 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) ∧ (vol*β€˜(βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))) = 0))
87simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺))
9 ovolficcss 25219 . . . . . 6 (𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
106, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
118, 10sstrd 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
125, 11sstrid 3994 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
13 uniioombl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
14 uniioombl.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
15 uniioombl.3 . . . . . 6 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
16 uniioombl.a . . . . . 6 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
17 uniioombl.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
18 uniioombl.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
19 uniioombl.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
20 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
21 uniioombl.v . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 6, 19, 20, 21uniioombllem1 25331 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
23 ssid 4005 . . . . . 6 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
2420ovollb 25229 . . . . . 6 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
256, 23, 24sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
26 ovollecl 25233 . . . . 5 ((βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < )) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
2711, 22, 25, 26syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
28 ovolsscl 25236 . . . 4 ((𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
295, 11, 27, 28mp3an2i 1465 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
30 ovolsscl 25236 . . 3 (((𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
311, 12, 29, 30mp3an2i 1465 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
32 inss1 4229 . . . 4 (𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾
33 ovolsscl 25236 . . . 4 (((𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
3432, 12, 29, 33mp3an2i 1465 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
35 ssun2 4174 . . . . . 6 βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
36 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
37 uniioombl.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3837peano2nnd 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
3938, 36eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
40 uzsplit 13578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (β„€β‰₯β€˜1) = ((1...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜1) = ((1...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
4236, 41eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„• = ((1...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
4337nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
44 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
45 pncan 11471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
4643, 44, 45sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
4746oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (1...𝑁))
4847uneq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((1...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = ((1...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
4942, 48eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„• = ((1...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
5049iuneq1d 5025 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = βˆͺ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
51 iunxun 5098 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
5250, 51eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
53 ioof 13429 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
54 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
55 rexpssxrxp 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
5654, 55sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
57 fss 6735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
5813, 56, 57sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
59 fco 6742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
6053, 58, 59sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
61 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ ((,) ∘ 𝐹) Fn β„•)
62 fniunfv 7249 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) ∘ 𝐹) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
6360, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
64 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
6513, 64sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
6665iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
6763, 66eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
6816, 67eqtrid 2783 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
69 uniioombl.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
70 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐹))
71 funiunfv 7250 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun ((,) ∘ 𝐹) β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
7260, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
73 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
7413, 73, 64syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
7574iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘–) = βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
7672, 75eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
7769, 76eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐿 = βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
7877uneq1d 4163 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
7952, 68, 783eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐿 βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
8079ineq2d 4213 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∩ 𝐴) = (𝐾 ∩ (𝐿 βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))))
81 indi 4274 . . . . . . . 8 (𝐾 ∩ (𝐿 βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))) = ((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ (𝐾 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
8280, 81eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∩ 𝐴) = ((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ (𝐾 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))))
83 fss 6735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
846, 56, 83sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
85 fco 6742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
8653, 84, 85sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
87 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐺))
88 funiunfv 7250 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun ((,) ∘ 𝐺) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
90 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
91 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
926, 90, 91syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
9392iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
9489, 93eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
952, 94eqtrid 2783 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
9695ineq2d 4213 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ 𝐾) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
97 incom 4202 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ 𝐾)
98 iunin2 5075 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
99 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
101100iuneq2i 5019 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
102 incom 4202 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
10398, 101, 1023eqtr4ri 2770 . . . . . . . . . . . 12 (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
104103a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
105104iuneq2i 5019 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
106 iunin2 5075 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
107105, 106eqtr3i 2761 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
10896, 97, 1073eqtr4g 2796 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
109108uneq2d 4164 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ (𝐾 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))) = ((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
11082, 109eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∩ 𝐴) = ((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
11135, 110sseqtrrid 4036 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† (𝐾 ∩ 𝐴))
112111, 1sstrdi 3995 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† 𝐾)
113 ovolsscl 25236 . . . 4 ((βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
114112, 12, 29, 113syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
11534, 114readdcld 11248 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
11618rpred 13021 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
11734, 116readdcld 11248 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) ∈ ℝ)
118110fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) = (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))))
11932, 12sstrid 3994 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† ℝ)
120112, 12sstrd 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ)
121 ovolun 25249 . . . 4 ((((𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ) ∧ (βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))))
122119, 34, 120, 114, 121syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐿) βˆͺ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))))
123118, 122eqbrtrd 5171 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))))
124 fzfid 13943 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
125 iunss 5049 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† 𝐾 ↔ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† 𝐾)
126112, 125sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† 𝐾)
127126r19.21bi 3247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† 𝐾)
12812adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
12929adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
130 ovolsscl 25236 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
131127, 128, 129, 130syl3anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
132124, 131fsumrecl 15685 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
133127, 128sstrd 3993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ)
134133, 131jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ))
135134ralrimiva 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ))
136 ovolfiniun 25251 . . . . 5 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
137124, 135, 136syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
138 uniioombl.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
139116, 138nndivred 12271 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 𝑀) ∈ ℝ)
140139adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐢 / 𝑀) ∈ ℝ)
14177ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
142141adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
14399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑁) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
144143iuneq2i 5019 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
145 iunin2 5075 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
146144, 145eqtri 2759 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
147142, 146eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) = βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
148 fzfid 13943 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
149 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
15013, 73, 149syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
151150elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
152 1st2nd2 8017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘–) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘–)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘–))⟩)
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘–)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘–))⟩)
154153fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘–)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘–))⟩))
155 df-ov 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘–))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘–)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘–))⟩)
156154, 155eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘–))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
157 ioombl 25315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘–))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ dom vol
158156, 157eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ dom vol)
159158adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ dom vol)
160 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
1616, 90, 160syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
162161elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
163 1st2nd2 8017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
165164fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩))
166 df-ov 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
167165, 166eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
168 ioombl 25315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol
169167, 168eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ dom vol)
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ dom vol)
171 inmbl 25292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ dom vol ∧ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ dom vol) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol)
172159, 170, 171syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol)
173172ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol)
174 finiunmbl 25294 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol)
175148, 173, 174syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol)
176147, 175eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) ∈ dom vol)
177 inss2 4230 . . . . . . . . . . 11 (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
17813uniiccdif 25328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐹) ∧ (vol*β€˜(βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐹) βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0))
179178simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐹))
180 ovolficcss 25219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
18113, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
182179, 181sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
18316, 182eqsstrid 4031 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
184183adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
185177, 184sstrid 3994 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βŠ† ℝ)
186 inss1 4229 . . . . . . . . . . 11 (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))
187 ioossre 13390 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ
188167, 187eqsstrdi 4037 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
189167fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
190 ovolfcl 25216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
1916, 90, 190syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
192 ovolioo 25318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
193191, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
194189, 193eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
195191simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
196191simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
197195, 196resubcld 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
198194, 197eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
199 ovolsscl 25236 . . . . . . . . . . 11 (((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
200186, 188, 198, 199mp3an2i 1465 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
201 mblsplit 25282 . . . . . . . . . 10 (((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) ∈ dom vol ∧ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) = ((vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) ∩ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))) + (vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βˆ– (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)))))
202176, 185, 200, 201syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) = ((vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) ∩ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))) + (vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βˆ– (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)))))
203 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐹)
204203unissi 4918 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
205204, 69, 163sstr4i 4026 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 βŠ† 𝐴
206 sslin 4235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 βŠ† 𝐴 β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) βŠ† (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴))
207205, 206mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) βŠ† (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴))
208 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . 12 ((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿) βŠ† (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) ↔ ((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) ∩ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))
209207, 208sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) ∩ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))
210209fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) ∩ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))) = (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)))
211 indifdir 4285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– 𝐿) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((𝐴 ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βˆ– (𝐿 ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
212 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)
213 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)
214212, 213difeq12i 4121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βˆ– (𝐿 ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βˆ– (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))
215211, 214eqtri 2759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ– 𝐿) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βˆ– (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))
21679eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 𝐴)
21777ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
218 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
219218cbvdisjv 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ Disj 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
22014, 219sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Disj 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
221 fz1ssnn 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) βŠ† β„•
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) βŠ† β„•)
223 uzss 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
22439, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
225224, 36sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† β„•)
22647ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((1...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = ((1...𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
227 uzdisj 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = βˆ…
228226, 227eqtr3di 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = βˆ…)
229 disjiun 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Disj 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∧ ((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† β„• ∧ ((1...𝑁) ∩ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = βˆ…)) β†’ (βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = βˆ…)
230220, 222, 225, 228, 229syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = βˆ…)
231217, 230eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = βˆ…)
232 uneqdifeq 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 βŠ† 𝐴 ∧ (𝐿 ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = βˆ…) β†’ ((𝐿 βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 𝐴 ↔ (𝐴 βˆ– 𝐿) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
233205, 231, 232sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆͺ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 𝐴 ↔ (𝐴 βˆ– 𝐿) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
234216, 233mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– 𝐿) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐴 βˆ– 𝐿) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
236235ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ (𝐴 βˆ– 𝐿)) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
237 incom 4202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– 𝐿) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ (𝐴 βˆ– 𝐿))
238101, 98eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
239236, 237, 2383eqtr4g 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝐿) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
240215, 239eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βˆ– (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
241240fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βˆ– (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
242210, 241oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) ∩ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿))) + (vol*β€˜((((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴) βˆ– (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)))) = ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))))
243202, 242eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) = ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))))
244200, 140resubcld 11647 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) βˆ’ (𝐢 / 𝑀)) ∈ ℝ)
245 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))
246188adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
247198adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
248 ovolsscl 25236 . . . . . . . . . . . . 13 (((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
249245, 246, 247, 248mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
250148, 249fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
251 uniioombl.n2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
252251r19.21bi 3247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
253250, 200, 140absdifltd 15385 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀) ↔ (((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) βˆ’ (𝐢 / 𝑀)) < Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) < ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) + (𝐢 / 𝑀)))))
254252, 253mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) βˆ’ (𝐢 / 𝑀)) < Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) < ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) + (𝐢 / 𝑀))))
255254simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) βˆ’ (𝐢 / 𝑀)) < Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
256244, 250, 255ltled 11367 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) βˆ’ (𝐢 / 𝑀)) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
257147fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
258 mblvol 25280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
259172, 258syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
260259, 249eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
261172, 260jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ))
262261ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ))
263 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))
264263rgenw 3064 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ€π‘– ∈ β„• (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–))
265220adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ Disj 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
266 disjss2 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ β„• (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) β†’ (Disj 𝑖 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) β†’ Disj 𝑖 ∈ β„• (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
267264, 265, 266mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ Disj 𝑖 ∈ β„• (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
268 disjss1 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...𝑁) βŠ† β„• β†’ (Disj 𝑖 ∈ β„• (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) β†’ Disj 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
269221, 267, 268mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ Disj 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
270 volfiniun 25297 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
271148, 262, 269, 270syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
272 mblvol 25280 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
273175, 272syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
274259sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(volβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
275271, 273, 2743eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (1...𝑁)(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
276257, 275eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
277256, 276breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) βˆ’ (𝐢 / 𝑀)) ≀ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)))
278276, 250eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
279200, 140, 278lesubaddd 11816 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) βˆ’ (𝐢 / 𝑀)) ≀ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) ↔ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (𝐢 / 𝑀))))
280277, 279mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (𝐢 / 𝑀)))
281243, 280eqbrtrrd 5173 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))) ≀ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (𝐢 / 𝑀)))
282131, 140, 278leadd2d 11814 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ≀ (𝐢 / 𝑀) ↔ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))) ≀ ((vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐿)) + (𝐢 / 𝑀))))
283281, 282mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ≀ (𝐢 / 𝑀))
284124, 131, 140, 283fsumle 15750 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐢 / 𝑀))
285139recnd 11247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 𝑀) ∈ β„‚)
286 fsumconst 15741 . . . . . . 7 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝐢 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐢 / 𝑀) = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· (𝐢 / 𝑀)))
287124, 285, 286syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐢 / 𝑀) = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· (𝐢 / 𝑀)))
288 nnnn0 12484 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
289 hashfz1 14311 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
290138, 288, 2893syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
291290oveq1d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· (𝐢 / 𝑀)) = (𝑀 Β· (𝐢 / 𝑀)))
292116recnd 11247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
293138nncnd 12233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
294138nnne0d 12267 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
295292, 293, 294divcan2d 11997 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (𝐢 / 𝑀)) = 𝐢)
296287, 291, 2953eqtrd 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐢 / 𝑀) = 𝐢)
297284, 296breqtrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ≀ 𝐢)
298114, 132, 116, 137, 297letrd 11376 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) ≀ 𝐢)
299114, 116, 34, 298leadd2dd 11834 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)βˆͺ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢))
30031, 115, 117, 123, 299letrd 11376 1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977  Fincfn 8942  supcsup 9438  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  seqcseq 13971  β™―chash 14295  abscabs 15186  Ξ£csu 15637  vol*covol 25212  volcvol 25213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215
This theorem is referenced by:  uniioombllem5  25337
  Copyright terms: Public domain W3C validator