sge0iunmptlemfi - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0iunmptlemfi 46442

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union (in this lemma, for a finite index set). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0iunmptlemfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sge0iunmptlemfi.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
sge0iunmptlemfi.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
sge0iunmptlemfi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0iunmptlemfi.re	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
sge0iunmptlemfi	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑥 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝜑,𝑘,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmptlemfi Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq1d 5210	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶))
3	2	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)))
4		mpteq1 5209	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
5	4	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
6	3, 5	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
7		iuneq1 4984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵)
8	7	mpteq1d 5210	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶))
9	8	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)))
10		mpteq1 5209	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
11	10	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
12	9, 11	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
13		iuneq1 4984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
14	13	mpteq1d 5210	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶))
15	14	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)))
16		mpteq1 5209	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
17	16	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
18	15, 17	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
19		iuneq1 4984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
20	19	mpteq1d 5210	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))
21	20	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
22		mpteq1 5209	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
23	22	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
24	21, 23	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
25		0iun 5039	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
26		mpteq1 5209	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶)
28		mpt0 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
29	27, 28	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = ∅
30	29	fveq2i 6879	. . . 4 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘∅)
31		mpt0 6680	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = ∅
32	31	fveq2i 6879	. . . 4 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘∅)
33	30, 32	eqtr4i 2761	. . 3 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
35		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
36		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ^{^}
37		nfiu1 5003	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵
38		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
39	37, 38	nfmpt 5219	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)
40	36, 39	nffv 6886	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))
41		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
42		sge0iunmptlemfi.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
45		ssfi 9187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
46	43, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
47	41, 46	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
48		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
49		eldifn 4107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
50		disjsn 4687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
51	49, 50	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
53	52	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
54	53, 50	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
55		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝜑)
56		ssel2 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
57	56	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
58		sge0iunmptlemfi.re	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
61	60	adantlrr 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
62		csbeq1a 3888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
63		nfcsb1v 3898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
64		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
65	63, 64, 62	iunxsnf 45088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
66	62, 65	eqtr4di 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
67	66	mpteq1d 5210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))
68	67	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))
69	65	mpteq1i 5211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
71	70	fveq2d 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
72		eldifi 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝐴)
73		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)
74	63, 38	nfmpt 5219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
75	36, 74	nffv 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
76		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
77	75, 76	nfel 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
78	73, 77	nfim 1896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
79		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
80	79	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)))
81	67, 69	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
82	81	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
83	82	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ))
84	80, 83	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)))
85	78, 84, 58	chvarfv 2240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
86	72, 85	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
87	71, 86	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
88	87	adantrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
90	35, 40, 47, 48, 54, 61, 68, 89	fsumsplitsn 15760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
91	90	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
92	91	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
93		iunxun 5070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
94	93	mpteq1i 5211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)
95	94	fveq2i 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶))
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)))
97		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
98		sge0iunmptlemfi.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
99	98	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
100		iunexg 7962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
101	42, 99, 100	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
103		iunss1 4982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
104	103	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
105	102, 104	ssexd 5294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V)
106	105	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V)
107	101	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
108		snssi 4784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → {𝑤} ⊆ 𝐴)
109	72, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
110		iunss1 4982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤} ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
112	111	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
113	107, 112	ssexd 5294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
114	113	adantrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
115		sge0iunmptlemfi.dj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
117	109	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
118		disjiun 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
119	116, 41, 117, 53, 118	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
120		eliun 4971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
121	120	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
122	121	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
123		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑)
124	57	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
125		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
126		sge0iunmptlemfi.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128	127	3exp 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
129	128	rexlimdv 3139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
131	122, 130	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
132	131	adantlrr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
133		eliun 4971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
134	133	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
135	134	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
136		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑)
137	109	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
138	137	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
139	138	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
140		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
141	136, 139, 140, 126	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
142	141	3exp 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑥 ∈ {𝑤} → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
143	142	rexlimdv 3139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
145	135, 144	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
146	145	adantlrl 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
147	97, 106, 114, 119, 132, 146	sge0splitmpt 46440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
148	96, 147	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
149	148	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
150		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
151	150	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
152	126	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
154	152, 153	fmptd 7104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
155	98, 154	sge0ge0 46413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
156	58, 155	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
157		elrege0 13471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
158	156, 157	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
159	55, 57, 158	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
160		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
161	159, 160	fmptd 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝑧⟶(0[,)+∞))
162	46, 161	sge0fsum 46416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦))
163	162	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦))
164		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥))
165		nfmpt1 5220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
166		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
167	165, 166	nffv 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦)
168		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)
169	164, 167, 168	cbvsum 15711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥))
171		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)
172		fvexd 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V)
173	160	fvmpt2 6997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
174	171, 172, 173	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
175	174	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
176	175	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
177	176	sumeq2d 15717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
178	170, 177	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
179	178	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
180	151, 163, 179	3eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
181	180	adantlrr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
182	181	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
183	46, 59	fsumrecl 15750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
184	183	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
185		rexadd 13248	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
186	184, 88, 185	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
187	186	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
188	149, 182, 187	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
189		snfi 9057	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
190	189	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ∈ Fin)
191		unfi 9185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ {𝑤} ∈ Fin) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
192	47, 190, 191	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
193		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝜑)
194	56	ad4ant14 752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
195		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
196		elunnel1 4129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ {𝑤})
197		elsni 4618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤} → 𝑥 = 𝑤)
198	196, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
199	198	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
200		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 = 𝑤)
201	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐴)
202	200, 201	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 ∈ 𝐴)
203	195, 199, 202	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
204	203	adantlll 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
205	194, 204	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
206	205	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
207	193, 206, 158	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
208	192, 207	sge0fsummpt 46419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
209	208	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
210	92, 188, 209	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
211	210	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
212	6, 12, 18, 24, 34, 211, 42	findcard2d 9180	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 Vcvv 3459 ⦋csb 3874 ∖ cdif 3923 ∪ cun 3924 ∩ cin 3925 ⊆ wss 3926 ∅c0 4308 {csn 4601 ∪ ciun 4967 Disj wdisj 5086 class class class wbr 5119 ↦ cmpt 5201 ‘cfv 6531 (class class class)co 7405 Fincfn 8959 ℂcc 11127 ℝcr 11128 0cc0 11129 + caddc 11132 +∞cpnf 11266 ≤ cle 11270 +_𝑒 cxad 13126 [,)cico 13364 [,]cicc 13365 Σcsu 15702 Σ^{^}csumge0 46391

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5249 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7729 ax-inf2 9655 ax-cnex 11185 ax-resscn 11186 ax-1cn 11187 ax-icn 11188 ax-addcl 11189 ax-addrcl 11190 ax-mulcl 11191 ax-mulrcl 11192 ax-mulcom 11193 ax-addass 11194 ax-mulass 11195 ax-distr 11196 ax-i2m1 11197 ax-1ne0 11198 ax-1rid 11199 ax-rnegex 11200 ax-rrecex 11201 ax-cnre 11202 ax-pre-lttri 11203 ax-pre-lttrn 11204 ax-pre-ltadd 11205 ax-pre-mulgt0 11206 ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3359 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-op 4608 df-uni 4884 df-int 4923 df-iun 4969 df-disj 5087 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-se 5607 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-isom 6540 df-riota 7362 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7862 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8719 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-fin 8963 df-sup 9454 df-oi 9524 df-card 9953 df-pnf 11271 df-mnf 11272 df-xr 11273 df-ltxr 11274 df-le 11275 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11895 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-n0 12502 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13009 df-xadd 13129 df-ico 13368 df-icc 13369 df-fz 13525 df-fzo 13672 df-seq 14020 df-exp 14080 df-hash 14349 df-cj 15118 df-re 15119 df-im 15120 df-sqrt 15254 df-abs 15255 df-clim 15504 df-sum 15703 df-sumge0 46392

This theorem is referenced by: sge0iunmptlemre 46444

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