| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | iuneq1 5008 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵) |
| 2 | 1 | mpteq1d 5237 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 3 | 2 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = ∅ →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 4 | | mpteq1 5235 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 5 | 4 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = ∅ →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 6 | 3, 5 | eqeq12d 2753 |
. 2
⊢ (𝑦 = ∅ →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))) |
| 7 | | iuneq1 5008 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) |
| 8 | 7 | mpteq1d 5237 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 9 | 8 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = 𝑧 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 10 | | mpteq1 5235 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 11 | 10 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = 𝑧 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 12 | 9, 11 | eqeq12d 2753 |
. 2
⊢ (𝑦 = 𝑧 →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))) |
| 13 | | iuneq1 5008 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) |
| 14 | 13 | mpteq1d 5237 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 15 | 14 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 16 | | mpteq1 5235 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 17 | 16 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 18 | 15, 17 | eqeq12d 2753 |
. 2
⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))) |
| 19 | | iuneq1 5008 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 20 | 19 | mpteq1d 5237 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 21 | 20 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = 𝐴 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 22 | | mpteq1 5235 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 23 | 22 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ (𝑦 = 𝐴 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2753 |
. 2
⊢ (𝑦 = 𝐴 →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))) |
| 25 | | 0iun 5063 |
. . . . . . 7
⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅ |
| 26 | | mpteq1 5235 |
. . . . . . 7
⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) |
| 27 | 25, 26 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶) |
| 28 | | mpt0 6710 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅ |
| 29 | 27, 28 | eqtri 2765 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = ∅ |
| 30 | 29 | fveq2i 6909 |
. . . 4
⊢
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘∅) |
| 31 | | mpt0 6710 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = ∅ |
| 32 | 31 | fveq2i 6909 |
. . . 4
⊢
(Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘∅) |
| 33 | 30, 32 | eqtr4i 2768 |
. . 3
⊢
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 34 | 33 | a1i 11 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 35 | | nfv 1914 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) |
| 36 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥Σ^ |
| 37 | | nfiu1 5027 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 |
| 38 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥𝐶 |
| 39 | 37, 38 | nfmpt 5249 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) |
| 40 | 36, 39 | nffv 6916 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥
∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 41 | | simprl 771 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐴) |
| 42 | | sge0iunmptlemfi.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) |
| 43 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin) |
| 44 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴) |
| 45 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin) |
| 46 | 43, 44, 45 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin) |
| 47 | 41, 46 | syldan 591 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin) |
| 48 | | simprr 773 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) |
| 49 | | eldifn 4132 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) |
| 50 | | disjsn 4711 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) |
| 51 | 49, 50 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅) |
| 52 | 51 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅) |
| 53 | 52 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅) |
| 54 | 53, 50 | sylib 218 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) |
| 55 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝜑) |
| 56 | | ssel2 3978 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 57 | 56 | adantll 714 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 58 | | sge0iunmptlemfi.re |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 59 | 55, 57, 58 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 60 | 59 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 61 | 60 | adantlrr 721 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 62 | | csbeq1a 3913 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
| 63 | | nfcsb1v 3923 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 |
| 64 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑤 ∈ V |
| 65 | 63, 64, 62 | iunxsnf 45069 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 |
| 66 | 62, 65 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) |
| 67 | 66 | mpteq1d 5237 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 68 | 67 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑤 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 69 | 65 | mpteq1i 5238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) |
| 70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 71 | 70 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 72 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝐴) |
| 73 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) |
| 74 | 63, 38 | nfmpt 5249 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) |
| 75 | 36, 74 | nffv 6916 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 76 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥ℝ |
| 77 | 75, 76 | nfel 2920 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ |
| 78 | 73, 77 | nfim 1896 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 79 | | eleq1w 2824 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴)) |
| 80 | 79 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))) |
| 81 | 67, 69 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 82 | 81 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑤 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 83 | 82 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑤 →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)) |
| 84 | 80, 83 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ))) |
| 85 | 78, 84, 58 | chvarfv 2240 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 86 | 72, 85 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 87 | 71, 86 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 88 | 87 | adantrl 716 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 89 | 88 | recnd 11289 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 90 | 35, 40, 47, 48, 54, 61, 68, 89 | fsumsplitsn 15780 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 91 | 90 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 92 | 91 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 93 | | iunxun 5094 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) |
| 94 | 93 | mpteq1i 5238 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶) |
| 95 | 94 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . 8
⊢
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ (∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)) |
| 96 | 95 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ (∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶))) |
| 97 | | nfv 1914 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) |
| 98 | | sge0iunmptlemfi.b |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) |
| 99 | 98 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) |
| 100 | | iunexg 7988 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
| 101 | 42, 99, 100 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
| 102 | 101 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
| 103 | | iunss1 5006 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 104 | 103 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 105 | 102, 104 | ssexd 5324 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V) |
| 106 | 105 | adantrr 717 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V) |
| 107 | 101 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
| 108 | | snssi 4808 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → {𝑤} ⊆ 𝐴) |
| 109 | 72, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → {𝑤} ⊆ 𝐴) |
| 110 | | iunss1 5006 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ({𝑤} ⊆ 𝐴 → ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 111 | 109, 110 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 112 | 111 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 113 | 107, 112 | ssexd 5324 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V) |
| 114 | 113 | adantrl 716 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V) |
| 115 | | sge0iunmptlemfi.dj |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 116 | 115 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 117 | 109 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ⊆ 𝐴) |
| 118 | | disjiun 5131 |
. . . . . . . . 9
⊢
((Disj 𝑥
∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅) |
| 119 | 116, 41, 117, 53, 118 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅) |
| 120 | | eliun 4995 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 121 | 120 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 122 | 121 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 123 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑) |
| 124 | 57 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 125 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 126 | | sge0iunmptlemfi.c |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 127 | 123, 124,
125, 126 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 128 | 127 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))) |
| 129 | 128 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))) |
| 130 | 129 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))) |
| 131 | 122, 130 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 132 | 131 | adantlrr 721 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 133 | | eliun 4995 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵) |
| 134 | 133 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵) |
| 135 | 134 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵) |
| 136 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑) |
| 137 | 109 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 138 | 137 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 139 | 138 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 140 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 141 | 136, 139,
140, 126 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 142 | 141 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑥 ∈ {𝑤} → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))) |
| 143 | 142 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))) |
| 144 | 143 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))) |
| 145 | 135, 144 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 146 | 145 | adantlrl 720 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 147 | 97, 106, 114, 119, 132, 146 | sge0splitmpt 46426 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 148 | 96, 147 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 149 | 148 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 150 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
⊢
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 151 | 150 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 152 | 126 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 153 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) |
| 154 | 152, 153 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
| 155 | 98, 154 | sge0ge0 46399 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 156 | 58, 155 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 157 | | elrege0 13494 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞) ↔
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 158 | 156, 157 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞)) |
| 159 | 55, 57, 158 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞)) |
| 160 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 161 | 159, 160 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝑧⟶(0[,)+∞)) |
| 162 | 46, 161 | sge0fsum 46402 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦)) |
| 163 | 162 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦)) |
| 164 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)) |
| 165 | | nfmpt1 5250 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 166 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥𝑦 |
| 167 | 165, 166 | nffv 6916 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) |
| 168 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) |
| 169 | 164, 167,
168 | cbvsum 15731 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Σ𝑦 ∈
𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) |
| 170 | 169 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)) |
| 171 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧) |
| 172 | | fvexd 6921 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) |
| 173 | 160 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 174 | 171, 172,
173 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 175 | 174 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 176 | 175 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 177 | 176 | sumeq2d 15737 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 178 | 170, 177 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 179 | 178 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 180 | 151, 163,
179 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 181 | 180 | adantlrr 721 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 182 | 181 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 183 | 46, 59 | fsumrecl 15770 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 184 | 183 | adantrr 717 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 185 | | rexadd 13274 |
. . . . . . 7
⊢
((Σ𝑥 ∈
𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 186 | 184, 88, 185 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 187 | 186 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +𝑒
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 188 | 149, 182,
187 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 189 | | snfi 9083 |
. . . . . . . 8
⊢ {𝑤} ∈ Fin |
| 190 | 189 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ∈ Fin) |
| 191 | | unfi 9211 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ {𝑤} ∈ Fin) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin) |
| 192 | 47, 190, 191 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin) |
| 193 | | simpll 767 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝜑) |
| 194 | 56 | ad4ant14 752 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 195 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) |
| 196 | | elunnel1 4154 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ {𝑤}) |
| 197 | | elsni 4643 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ {𝑤} → 𝑥 = 𝑤) |
| 198 | 196, 197 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤) |
| 199 | 198 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤) |
| 200 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 = 𝑤) |
| 201 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐴) |
| 202 | 200, 201 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 203 | 195, 199,
202 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 204 | 203 | adantlll 718 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 205 | 194, 204 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 206 | 205 | adantll 714 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 207 | 193, 206,
158 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞)) |
| 208 | 192, 207 | sge0fsummpt 46405 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 209 | 208 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 210 | 92, 188, 209 | 3eqtr4d 2787 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 211 | 210 | ex 412 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))) |
| 212 | 6, 12, 18, 24, 34, 211, 42 | findcard2d 9206 |
1
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |