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Theorem sge0iunmptlemfi 44644
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union (in this lemma, for a finite index set). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmptlemfi.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sge0iunmptlemfi.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
sge0iunmptlemfi.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
sge0iunmptlemfi.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0iunmptlemfi.re ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0iunmptlemfi (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmptlemfi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4970 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → 𝑥𝑦 𝐵 = 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
21mpteq1d 5200 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶))
32fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶)))
4 mpteq1 5198 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
54fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
63, 5eqeq12d 2752 . 2 (𝑦 = ∅ → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ↔ (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
7 iuneq1 4970 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 𝑥𝑦 𝐵 = 𝑥𝑧 𝐵)
87mpteq1d 5200 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶))
98fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)))
10 mpteq1 5198 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
1110fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
129, 11eqeq12d 2752 . 2 (𝑦 = 𝑧 → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ↔ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
13 iuneq1 4970 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → 𝑥𝑦 𝐵 = 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
1413mpteq1d 5200 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶))
1514fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)))
16 mpteq1 5198 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
1716fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
1815, 17eqeq12d 2752 . 2 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ↔ (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
19 iuneq1 4970 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 𝑥𝑦 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐵)
2019mpteq1d 5200 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶))
2120fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
22 mpteq1 5198 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
2322fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
2421, 23eqeq12d 2752 . 2 (𝑦 = 𝐴 → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ↔ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
25 0iun 5023 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
26 mpteq1 5198 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅ → (𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶)
28 mpt0 6643 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
2927, 28eqtri 2764 . . . . 5 (𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶) = ∅
3029fveq2i 6845 . . . 4 ^‘(𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶)) = (Σ^‘∅)
31 mpt0 6643 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = ∅
3231fveq2i 6845 . . . 4 ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘∅)
3330, 32eqtr4i 2767 . . 3 ^‘(𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
3433a1i 11 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ ∅ 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
35 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)))
36 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥Σ^
37 nfiu1 4988 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵
38 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑥𝐶
3937, 38nfmpt 5212 . . . . . . . 8 𝑥(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶)
4036, 39nffv 6852 . . . . . . 7 𝑥^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))
41 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → 𝑧𝐴)
42 sge0iunmptlemfi.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
45 ssfi 9117 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
4643, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
4741, 46syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
48 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
49 eldifn 4087 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴𝑧) → ¬ 𝑤𝑧)
50 disjsn 4672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤𝑧)
5149, 50sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝐴𝑧) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
5352adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
5453, 50sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → ¬ 𝑤𝑧)
55 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)
56 ssel2 3939 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
5756adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
58 sge0iunmptlemfi.re . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
5955, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
6059recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
6160adantlrr 719 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ 𝑥𝑧) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
62 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
63 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
64 vex 3449 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
6563, 64, 62iunxsnf 43262 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵
6662, 65eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
6766mpteq1d 5200 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))
6867fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶)))
6965mpteq1i 5201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶) = (𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → (𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶) = (𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
7170fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
72 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴𝑧) → 𝑤𝐴)
73 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑𝑤𝐴)
7463, 38nfmpt 5212 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
7536, 74nffv 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
76 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥
7775, 76nfel 2921 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ ℝ
7873, 77nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑤𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
79 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑤𝐴))
8079anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑤𝐴)))
8167, 69eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
8281fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
8382eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ ↔ (Σ^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ ℝ))
8480, 83imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑤𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ ℝ)))
8578, 84, 58chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
8672, 85sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → (Σ^‘(𝑘𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
8771, 86eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
8887adantrl 714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
8988recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
9035, 40, 47, 48, 54, 61, 68, 89fsumsplitsn 15629 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) + (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
9190eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) + (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
9291adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) + (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
93 iunxun 5054 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
9493mpteq1i 5201 . . . . . . . . 9 (𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶) = (𝑘 ∈ ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)
9594fveq2i 6845 . . . . . . . 8 ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶))
9695a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)))
97 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)))
98 sge0iunmptlemfi.b . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
9998ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
100 iunexg 7896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
10142, 99, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
102101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
103 iunss1 4968 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 𝑥𝑧 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
104103adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑥𝑧 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
105102, 104ssexd 5281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑥𝑧 𝐵 ∈ V)
106105adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → 𝑥𝑧 𝐵 ∈ V)
107101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
108 snssi 4768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐴 → {𝑤} ⊆ 𝐴)
10972, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (𝐴𝑧) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
110 iunss1 4968 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑤} ⊆ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴𝑧) → 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
112111adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
113107, 112ssexd 5281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
114113adantrl 714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
115 sge0iunmptlemfi.dj . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
116115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
117109ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
118 disjiun 5092 . . . . . . . . 9 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝑧𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
119116, 41, 117, 53, 118syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
120 eliun 4958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 𝑥𝑧 𝐵 ↔ ∃𝑥𝑧 𝑘𝐵)
121120biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 𝑥𝑧 𝐵 → ∃𝑥𝑧 𝑘𝐵)
122121adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝑧 𝐵) → ∃𝑥𝑧 𝑘𝐵)
123 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧𝑘𝐵) → 𝜑)
124573adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧𝑘𝐵) → 𝑥𝐴)
125 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
126 sge0iunmptlemfi.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1281273exp 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑥𝑧 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
129128rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (∃𝑥𝑧 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
130129adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝑧 𝐵) → (∃𝑥𝑧 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
131122, 130mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
132131adantlrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ 𝑘 𝑥𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
133 eliun 4958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘𝐵)
134133biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘𝐵)
135134adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘𝐵)
136 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘𝐵) → 𝜑)
137109sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ (𝐴𝑧) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥𝐴)
138137adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥𝐴)
1391383adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘𝐵) → 𝑥𝐴)
140 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
141136, 139, 140, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1421413exp 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → (𝑥 ∈ {𝑤} → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
143142rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
144143adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
145135, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
146145adantlrl 718 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14797, 106, 114, 119, 132, 146sge0splitmpt 44642 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ^‘(𝑘 ∈ ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
14896, 147eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
149148adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
150 id 22 . . . . . . . . 9 ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
151150adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
1521263expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
154152, 153fmptd 7062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
15598, 154sge0ge0 44615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
15658, 155jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
157 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
158156, 157sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
15955, 57, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
160 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
161159, 160fmptd 7062 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝑧⟶(0[,)+∞))
16246, 161sge0fsum 44618 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = Σ𝑦𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦))
163162adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = Σ𝑦𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦))
164 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦) = ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥))
165 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧
166 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑧
167 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
168 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦
169167, 168nffv 6852 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦)
170 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥)
171164, 165, 166, 169, 170cbvsum 15580 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑦𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥)
172171a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → Σ𝑦𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥))
173 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑧𝑥𝑧)
174 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑧 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V)
175160fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V) → ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
176173, 174, 175syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑧 → ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
178177ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → ∀𝑥𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
179178sumeq2d 15587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → Σ𝑥𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑥) = Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)))
180172, 179eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → Σ𝑦𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)))
181180adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → Σ𝑦𝑧 ((𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)))
182151, 163, 1813eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)))
183182adantlrr 719 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)))
184183oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))) = (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
18546, 59fsumrecl 15619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
186185adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
187 rexadd 13151 . . . . . . 7 ((Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))) = (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) + (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
188186, 88, 187syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))) = (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) + (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
189188adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))) = (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) + (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
190149, 184, 1893eqtrd 2780 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = (Σ𝑥𝑧^‘(𝑘𝐵𝐶)) + (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵𝐶))))
191 snfi 8988 . . . . . . . 8 {𝑤} ∈ Fin
192191a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → {𝑤} ∈ Fin)
193 unfi 9116 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ Fin ∧ {𝑤} ∈ Fin) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
19447, 192, 193syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
195 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝜑)
19656ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
197 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (𝐴𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
198 elunnel1 4109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 𝑥 ∈ {𝑤})
199 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑤} → 𝑥 = 𝑤)
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
201200adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (𝐴𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
202 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (𝐴𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 = 𝑤)
20372adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (𝐴𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑤𝐴)
204202, 203eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (𝐴𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥𝐴)
205197, 201, 204syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (𝐴𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
206205adantlll 716 . . . . . . . . 9 ((((𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
207196, 206pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
208207adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
209195, 208, 158syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
210194, 209sge0fsummpt 44621 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
211210adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
21292, 190, 2113eqtr4d 2786 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
213212ex 413 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑧 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) → (Σ^‘(𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
2146, 12, 18, 24, 34, 213, 42findcard2d 9110 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  csb 3855  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   ciun 4954  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  cle 11190   +𝑒 cxad 13031  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  Σcsu 15570  Σ^csumge0 44593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-sumge0 44594
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  44646
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