sge0iunmptlemfi - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0iunmptlemfi 45116

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union (in this lemma, for a finite index set). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0iunmptlemfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sge0iunmptlemfi.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
sge0iunmptlemfi.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
sge0iunmptlemfi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0iunmptlemfi.re	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
sge0iunmptlemfi	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑥 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝜑,𝑘,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmptlemfi Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq1d 5243	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶))
3	2	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)))
4		mpteq1 5241	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
5	4	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
6	3, 5	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
7		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵)
8	7	mpteq1d 5243	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶))
9	8	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)))
10		mpteq1 5241	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
11	10	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
12	9, 11	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
13		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
14	13	mpteq1d 5243	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶))
15	14	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)))
16		mpteq1 5241	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
17	16	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
18	15, 17	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
19		iuneq1 5013	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
20	19	mpteq1d 5243	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))
21	20	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
22		mpteq1 5241	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
23	22	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
24	21, 23	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
25		0iun 5066	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
26		mpteq1 5241	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶)
28		mpt0 6690	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
29	27, 28	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = ∅
30	29	fveq2i 6892	. . . 4 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘∅)
31		mpt0 6690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = ∅
32	31	fveq2i 6892	. . . 4 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘∅)
33	30, 32	eqtr4i 2764	. . 3 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
35		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
36		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ^{^}
37		nfiu1 5031	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵
38		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
39	37, 38	nfmpt 5255	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)
40	36, 39	nffv 6899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))
41		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
42		sge0iunmptlemfi.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
43	42	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
45		ssfi 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
46	43, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
47	41, 46	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
48		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
49		eldifn 4127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
50		disjsn 4715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
51	49, 50	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
52	51	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
53	52	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
54	53, 50	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
55		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝜑)
56		ssel2 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
57	56	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
58		sge0iunmptlemfi.re	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
61	60	adantlrr 720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
62		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
63		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
64		vex 3479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
65	63, 64, 62	iunxsnf 43737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
66	62, 65	eqtr4di 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
67	66	mpteq1d 5243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))
68	67	fveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))
69	65	mpteq1i 5244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
71	70	fveq2d 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
72		eldifi 4126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝐴)
73		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)
74	63, 38	nfmpt 5255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
75	36, 74	nffv 6899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
76		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
77	75, 76	nfel 2918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
78	73, 77	nfim 1900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
79		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
80	79	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)))
81	67, 69	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
82	81	fveq2d 6893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
83	82	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ))
84	80, 83	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)))
85	78, 84, 58	chvarfv 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
86	72, 85	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
87	71, 86	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
88	87	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
90	35, 40, 47, 48, 54, 61, 68, 89	fsumsplitsn 15687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
91	90	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
92	91	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
93		iunxun 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
94	93	mpteq1i 5244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)
95	94	fveq2i 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶))
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)))
97		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
98		sge0iunmptlemfi.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
99	98	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
100		iunexg 7947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
101	42, 99, 100	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
102	101	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
103		iunss1 5011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
104	103	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
105	102, 104	ssexd 5324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V)
106	105	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V)
107	101	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
108		snssi 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → {𝑤} ⊆ 𝐴)
109	72, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
110		iunss1 5011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤} ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
112	111	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
113	107, 112	ssexd 5324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
114	113	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
115		sge0iunmptlemfi.dj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
116	115	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
117	109	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
118		disjiun 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
119	116, 41, 117, 53, 118	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
120		eliun 5001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
121	120	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
122	121	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
123		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑)
124	57	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
125		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
126		sge0iunmptlemfi.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128	127	3exp 1120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
129	128	rexlimdv 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
130	129	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
131	122, 130	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
132	131	adantlrr 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
133		eliun 5001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
134	133	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
135	134	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
136		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑)
137	109	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
138	137	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
139	138	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
140		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
141	136, 139, 140, 126	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
142	141	3exp 1120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑥 ∈ {𝑤} → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
143	142	rexlimdv 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
144	143	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
145	135, 144	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
146	145	adantlrl 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
147	97, 106, 114, 119, 132, 146	sge0splitmpt 45114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
148	96, 147	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
149	148	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
150		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
151	150	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
152	126	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
154	152, 153	fmptd 7111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
155	98, 154	sge0ge0 45087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
156	58, 155	jca 513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
157		elrege0 13428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
158	156, 157	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
159	55, 57, 158	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
160		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
161	159, 160	fmptd 7111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝑧⟶(0[,)+∞))
162	46, 161	sge0fsum 45090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦))
163	162	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦))
164		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥))
165		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
166		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
167		nfmpt1 5256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
168		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
169	167, 168	nffv 6899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦)
170		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)
171	164, 165, 166, 169, 170	cbvsum 15638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥))
173		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)
174		fvexd 6904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V)
175	160	fvmpt2 7007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
176	173, 174, 175	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
177	176	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
178	177	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
179	178	sumeq2d 15645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
180	172, 179	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
181	180	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
182	151, 163, 181	3eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
183	182	adantlrr 720	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
184	183	oveq1d 7421	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
185	46, 59	fsumrecl 15677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
186	185	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
187		rexadd 13208	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
188	186, 88, 187	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
189	188	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
190	149, 184, 189	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
191		snfi 9041	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
192	191	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ∈ Fin)
193		unfi 9169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ {𝑤} ∈ Fin) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
194	47, 192, 193	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
195		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝜑)
196	56	ad4ant14 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
197		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
198		elunnel1 4149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ {𝑤})
199		elsni 4645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤} → 𝑥 = 𝑤)
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
201	200	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
202		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 = 𝑤)
203	72	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐴)
204	202, 203	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 ∈ 𝐴)
205	197, 201, 204	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
206	205	adantlll 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
207	196, 206	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
208	207	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
209	195, 208, 158	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
210	194, 209	sge0fsummpt 45093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
211	210	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
212	92, 190, 211	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
213	212	ex 414	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
214	6, 12, 18, 24, 34, 213, 42	findcard2d 9163	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 Vcvv 3475 ⦋csb 3893 ∖ cdif 3945 ∪ cun 3946 ∩ cin 3947 ⊆ wss 3948 ∅c0 4322 {csn 4628 ∪ ciun 4997 Disj wdisj 5113 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ‘cfv 6541 (class class class)co 7406 Fincfn 8936 ℂcc 11105 ℝcr 11106 0cc0 11107 + caddc 11110 +∞cpnf 11242 ≤ cle 11246 +_𝑒 cxad 13087 [,)cico 13323 [,]cicc 13324 Σcsu 15629 Σ^{^}csumge0 45065

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-inf2 9633 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-disj 5114 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-isom 6550 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-om 7853 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-1o 8463 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-sup 9434 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-rp 12972 df-xadd 13090 df-ico 13327 df-icc 13328 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-seq 13964 df-exp 14025 df-hash 14288 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-clim 15429 df-sum 15630 df-sumge0 45066

This theorem is referenced by: sge0iunmptlemre 45118

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