Theorem ditgeq123i 36391

Description: Equality inference for the directed integral. General version of ditgeq12i 36392 and ditgeq3i 36393. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
ditgeq123i.2	⊢ 𝐶 = 𝐷
ditgeq123i.3	⊢ 𝐸 = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123i	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Proof of Theorem ditgeq123i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		ditgeq123i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 = 𝐷
3	1, 2	breq12i 5094	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷)
4	1, 2	oveq12i 7379	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷)
5		ditgeq123i.3	. . . 4 ⊢ 𝐸 = 𝐹
6	4, 5	itgeq12i 36388	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥
7	2, 1	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵)
8	7, 5	itgeq12i 36388	. . . 4 ⊢ ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
9	8	negeqi 11386	. . 3 ⊢ -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
10	3, 6, 9	ifbieq12i 4494	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
11		df-ditg 25814	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 25814	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4i 2769	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Syntax hints:   = wceq 1542  ifcif 4466   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   ≤ cle 11180  -cneg 11378  (,)cioo 13298  ∫citg 25585  ⨜cdit 25813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-neg 11380  df-seq 13964  df-sum 15649  df-itg 25590  df-ditg 25814

This theorem is referenced by:  ditgeq12i  36392  ditgeq3i  36393