Theorem ditgeq123i 36780

Description: Equality inference for the directed integral. General version of ditgeq12i 36781 and ditgeq3i 36782. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
ditgeq123i.2	⊢ 𝐶 = 𝐷
ditgeq123i.3	⊢ 𝐸 = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123i	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Proof of Theorem ditgeq123i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		ditgeq123i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 = 𝐷
3	1, 2	breq12i 5120	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷)
4	1, 2	oveq12i 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷)
5		ditgeq123i.3	. . . 4 ⊢ 𝐸 = 𝐹
6	4, 5	itgeq12i 36777	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥
7	2, 1	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵)
8	7, 5	itgeq12i 36777	. . . 4 ⊢ ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
9	8	negeqi 11467	. . 3 ⊢ -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
10	3, 6, 9	ifbieq12i 4517	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
11		df-ditg 26059	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 26059	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4i 2798	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ifcif 4489   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419   ≤ cle 11261  -cneg 11459  (,)cioo 13390  ∫citg 25830  ⨜cdit 26058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-neg 11461  df-seq 14058  df-sum 15764  df-itg 25835  df-ditg 26059

This theorem is used by:  ditgeq12i  36781  ditgeq3i  36782