Theorem ditgeq123i 36832

Description: Equality inference for the directed integral. General version of ditgeq12i 36833 and ditgeq3i 36834. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
ditgeq123i.2	⊢ 𝐶 = 𝐷
ditgeq123i.3	⊢ 𝐸 = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123i	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Proof of Theorem ditgeq123i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		ditgeq123i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 = 𝐷
3	1, 2	breq12i 5112	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷)
4	1, 2	oveq12i 7426	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷)
5		ditgeq123i.3	. . . 4 ⊢ 𝐸 = 𝐹
6	4, 5	itgeq12i 36829	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥
7	2, 1	oveq12i 7426	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵)
8	7, 5	itgeq12i 36829	. . . 4 ⊢ ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
9	8	negeqi 11477	. . 3 ⊢ -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
10	3, 6, 9	ifbieq12i 4510	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
11		df-ditg 26077	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 26077	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ifcif 4482   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   ≤ cle 11271  -cneg 11469  (,)cioo 13401  ∫citg 25849  ⨜cdit 26076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-neg 11471  df-seq 14069  df-sum 15777  df-itg 25854  df-ditg 26077

This theorem is used by:  ditgeq12i  36833  ditgeq3i  36834