Theorem ditgeq123i 36437

Description: Equality inference for the directed integral. General version of ditgeq12i 36438 and ditgeq3i 36439. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
ditgeq123i.2	⊢ 𝐶 = 𝐷
ditgeq123i.3	⊢ 𝐸 = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123i	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Proof of Theorem ditgeq123i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		ditgeq123i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 = 𝐷
3	1, 2	breq12i 5081	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷)
4	1, 2	oveq12i 7368	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷)
5		ditgeq123i.3	. . . 4 ⊢ 𝐸 = 𝐹
6	4, 5	itgeq12i 36434	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥
7	2, 1	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵)
8	7, 5	itgeq12i 36434	. . . 4 ⊢ ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
9	8	negeqi 11377	. . 3 ⊢ -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
10	3, 6, 9	ifbieq12i 4482	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
11		df-ditg 25832	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 25832	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4i 2772	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Syntax hints:   = wceq 1547  ifcif 4454   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356   ≤ cle 11171  -cneg 11369  (,)cioo 13289  ∫citg 25603  ⨜cdit 25831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-xp 5624  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-neg 11371  df-seq 13955  df-sum 15640  df-itg 25608  df-ditg 25832

This theorem is referenced by:  ditgeq12i  36438  ditgeq3i  36439