Theorem ditgeq123i 36190

Description: Equality inference for the directed integral. General version of ditgeq12i 36191 and ditgeq3i 36192. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeq123i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
ditgeq123i.2	⊢ 𝐶 = 𝐷
ditgeq123i.3	⊢ 𝐸 = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ditgeq123i	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Proof of Theorem ditgeq123i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgeq123i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		ditgeq123i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 = 𝐷
3	1, 2	breq12i 5111	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐷)
4	1, 2	oveq12i 7381	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐷)
5		ditgeq123i.3	. . . 4 ⊢ 𝐸 = 𝐹
6	4, 5	itgeq12i 36187	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥
7	2, 1	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)𝐴) = (𝐷(,)𝐵)
8	7, 5	itgeq12i 36187	. . . 4 ⊢ ∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = ∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
9	8	negeqi 11390	. . 3 ⊢ -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥 = -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥
10	3, 6, 9	ifbieq12i 4512	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
11		df-ditg 25781	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐸 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12		df-ditg 25781	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐷, ∫(𝐵(,)𝐷)𝐹 d𝑥, -∫(𝐷(,)𝐵)𝐹 d𝑥)
13	10, 11, 12	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐸 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐷]𝐹 d𝑥

Syntax hints:   = wceq 1540  ifcif 4484   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369   ≤ cle 11185  -cneg 11382  (,)cioo 13282  ∫citg 25552  ⨜cdit 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-neg 11384  df-seq 13943  df-sum 15629  df-itg 25557  df-ditg 25781

This theorem is referenced by:  ditgeq12i  36191  ditgeq3i  36192