Theorem breq12i 5117

Description: Equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 4-Apr-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
breq12i.2	⊢ 𝐶 = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
breq12i	⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷)

Proof of Theorem breq12i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		breq12i.2	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐷
3		breq12 5113	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	mp2an 704	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   class class class wbr 5108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109

This theorem is used by:  3brtr3g  5143  3brtr4g  5144  caovord2  7624  domunfican  9279  ltsonq  10960  ltanq  10962  ltmnq  10963  prlem934  11024  prlem936  11038  ltsosr  11085  ltasr  11091  ltneg  11720  leneg  11723  lt2sqi  14232  le2sqi  14233  nn0le2msqi  14310  2sqreuop  27637  2sqreuopnn  27638  2sqreuoplt  27639  2sqreuopltb  27640  2sqreuopnnlt  27641  2sqreuopnnltb  27642  axlowdimlem6  29308  upgrwlkcompim  30003  clwlkcompbp  30142  mdsldmd1i  32694  fldext2chn  34127  constrextdg2lem  34147  divcnvlin  36233  ditgeq123i  36749  cbvditgvw2  36789  relowlpssretop  38038  2ap1caineq  42940  fsumlessf  46321  climlimsupcex  46511  liminfltlimsupex  46523  liminflelimsupcex  46539  sge0xaddlem2  47176  eubrdm  47801  isgrlim2  48776  iscmgmALT  49017  iscsgrpALT  49019