knoppcnlem4 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppcnlem4 35862

Description: Lemma for knoppcn 35870. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppcnlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴 𝐶,𝑚 𝐶,𝑛,𝑦 𝑚,𝑀 𝑛,𝑀 𝑥,𝑀 𝑛,𝑁,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑚 𝜑,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑚) 𝐶(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑚) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛) 𝑀(𝑦) 𝑁(𝑚)

**Proof of Theorem knoppcnlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 35859	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5	4	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem4.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7, 3	expcld 14108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
9		knoppcnlem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10		2re 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12		knoppcnlem4.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		nnre 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11, 14	remulcld 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
16	15, 3	reexpcld 14125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
17	16, 2	remulcld 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
18	9, 17	dnicld2 35839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
20	8, 19	absmuld 15398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
21	7, 3	absexpd 15396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶↑𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
22	21	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
23	20, 22	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
24	19	abscld 15380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25		1red 11212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26	7	abscld 15380	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26, 3	reexpcld 14125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
28	7	absge0d 15388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
29	26, 3, 28	expge0d 14126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
30	9	dnival 35837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
31	17, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
32	31	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33		halfre 12423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
35	17, 34	readdcld 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36		reflcl 13758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
38	37, 17	resubcld 11639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40		absidm 15267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
42	32, 41	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
43	31, 18	eqeltrrd 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44		rddif 15284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
45	17, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46		halflt1 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
47		1re 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
48	33, 47	ltlei 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
51	43, 34, 25, 45, 50	letrd 11368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
52	42, 51	eqbrtrd 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
53	24, 25, 27, 29, 52	lemul2ad 12151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54		ax-1rid 11176	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
55	27, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
56	53, 55	breqtrd 5164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
57	23, 56	eqbrtrd 5160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58		eqidd 2725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59		oveq2 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
61	58, 60, 3, 27	fvmptd 6995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
62	61	eqcomd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
63	57, 62	breqtrd 5164	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
64	5, 63	eqbrtrd 5160	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 class class class wbr 5138 ↦ cmpt 5221 ‘cfv 6533 (class class class)co 7401 ℂcc 11104 ℝcr 11105 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 / cdiv 11868 ℕcn 12209 2c2 12264 ℕ₀cn0 12469 ⌊cfl 13752 ↑cexp 14024 abscabs 15178

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-sup 9433 df-inf 9434 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-rp 12972 df-fl 13754 df-seq 13964 df-exp 14025 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180

This theorem is referenced by: knoppcnlem6 35864

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