Theorem knoppcnlem4 36612

Description: Lemma for knoppcn 36620. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 36609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5	4	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem4.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7, 3	expcld 14060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
9		knoppcnlem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10		2re 12210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12		knoppcnlem4.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		nnre 12143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11, 14	remulcld 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
16	15, 3	reexpcld 14077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
17	16, 2	remulcld 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
18	9, 17	dnicld2 36589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
20	8, 19	absmuld 15371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
21	7, 3	absexpd 15369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶↑𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
22	21	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
23	20, 22	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
24	19	abscld 15353	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25		1red 11124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26	7	abscld 15353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26, 3	reexpcld 14077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
28	7	absge0d 15361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
29	26, 3, 28	expge0d 14078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
30	9	dnival 36587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
31	17, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
32	31	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33		halfre 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
35	17, 34	readdcld 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36		reflcl 13707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
38	37, 17	resubcld 11556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40		absidm 15238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
42	32, 41	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
43	31, 18	eqeltrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44		rddif 15255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
45	17, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46		halflt1 12349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
47		1re 11123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
48	33, 47	ltlei 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
51	43, 34, 25, 45, 50	letrd 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
52	42, 51	eqbrtrd 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
53	24, 25, 27, 29, 52	lemul2ad 12073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54		ax-1rid 11087	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
55	27, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
56	53, 55	breqtrd 5121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
57	23, 56	eqbrtrd 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
61	58, 60, 3, 27	fvmptd 6945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
62	61	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
63	57, 62	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
64	5, 63	eqbrtrd 5117	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355   / cdiv 11785  ℕcn 12136  2c2 12191  ℕ₀cn0 12392  ⌊cfl 13701  ↑cexp 13975  abscabs 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150

This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  36614