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Theorem knoppcnlem4 36497
Description: Lemma for knoppcn 36505. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem4 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem4.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 knoppcnlem4.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem4.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
41, 2, 3knoppcnlem1 36494 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
54fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6 knoppcnlem4.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87, 3expcld 14186 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
9 knoppcnlem4.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10 2re 12340 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12 knoppcnlem4.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
13 nnre 12273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1511, 14remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1615, 3reexpcld 14203 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
1716, 2remulcld 11291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
189, 17dnicld2 36474 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
208, 19absmuld 15493 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
217, 3absexpd 15491 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
2221oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2320, 22eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2419abscld 15475 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25 1red 11262 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
267abscld 15475 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2726, 3reexpcld 14203 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
287absge0d 15483 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
2926, 3, 28expge0d 14204 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
309dnival 36472 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3117, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3231fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33 halfre 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3517, 34readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . 12 (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3837, 17resubcld 11691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
3938recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40 absidm 15362 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4232, 41eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4331, 18eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44 rddif 15379 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
4517, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46 halflt1 12484 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
47 1re 11261 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4833, 47ltlei 11383 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ≤ 1
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
5143, 34, 25, 45, 50letrd 11418 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5242, 51eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5324, 25, 27, 29, 52lemul2ad 12208 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54 ax-1rid 11225 . . . . . 6 (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5527, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5653, 55breqtrd 5169 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5723, 56eqbrtrd 5165 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6059adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6158, 60, 3, 27fvmptd 7023 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6261eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
6357, 62breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
645, 63eqbrtrd 5165 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cfl 13830  cexp 14102  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  36499
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