Theorem knoppcnlem4 36478

Description: Lemma for knoppcn 36486. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 36475	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5	4	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem4.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7, 3	expcld 14182	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
9		knoppcnlem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10		2re 12337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12		knoppcnlem4.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		nnre 12270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11, 14	remulcld 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
16	15, 3	reexpcld 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
17	16, 2	remulcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
18	9, 17	dnicld2 36455	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
20	8, 19	absmuld 15489	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
21	7, 3	absexpd 15487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶↑𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
22	21	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
23	20, 22	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
24	19	abscld 15471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25		1red 11259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26	7	abscld 15471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26, 3	reexpcld 14199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
28	7	absge0d 15479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
29	26, 3, 28	expge0d 14200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
30	9	dnival 36453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
31	17, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
32	31	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33		halfre 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
35	17, 34	readdcld 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36		reflcl 13832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
38	37, 17	resubcld 11688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40		absidm 15358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
42	32, 41	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
43	31, 18	eqeltrrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44		rddif 15375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
45	17, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46		halflt1 12481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
47		1re 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
48	33, 47	ltlei 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
51	43, 34, 25, 45, 50	letrd 11415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
52	42, 51	eqbrtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
53	24, 25, 27, 29, 52	lemul2ad 12205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54		ax-1rid 11222	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
55	27, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
56	53, 55	breqtrd 5173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
57	23, 56	eqbrtrd 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
61	58, 60, 3, 27	fvmptd 7022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
62	61	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
63	57, 62	breqtrd 5173	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
64	5, 63	eqbrtrd 5169	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ⌊cfl 13826  ↑cexp 14098  abscabs 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271

This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  36480