Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem4 35361
Description: Lemma for knoppcn 35369. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem4.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppcnlem4.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppcnlem4.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppcnlem4.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
knoppcnlem4.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
knoppcnlem4.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€)) โ‰ค ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š))โ€˜๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด   ๐ถ,๐‘š   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘š,๐‘€   ๐‘›,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘š   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘š)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘š)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘š)

Proof of Theorem knoppcnlem4
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem4.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
2 knoppcnlem4.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 knoppcnlem4.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
41, 2, 3knoppcnlem1 35358 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
54fveq2d 6893 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€)) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))))
6 knoppcnlem4.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
76recnd 11239 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
87, 3expcld 14108 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
9 knoppcnlem4.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
10 2re 12283 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
12 knoppcnlem4.n . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
13 nnre 12216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1511, 14remulcld 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
1615, 3reexpcld 14125 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1716, 2remulcld 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
189, 17dnicld2 35338 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
1918recnd 11239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
208, 19absmuld 15398 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) = ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘€)) ยท (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))))
217, 3absexpd 15396 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘€)) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
2221oveq1d 7421 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘€)) ยท (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) ยท (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))))
2320, 22eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) ยท (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))))
2419abscld 15380 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
25 1red 11212 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
267abscld 15380 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2726, 3reexpcld 14125 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
287absge0d 15388 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
2926, 3, 28expge0d 14126 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
309dnival 35336 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)) = (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
3117, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)) = (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
3231fveq2d 6893 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) = (absโ€˜(absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))))
33 halfre 12423 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
3517, 34readdcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
36 reflcl 13758 . . . . . . . . . . . 12 (((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆˆ โ„)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆˆ โ„)
3837, 17resubcld 11639 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
3938recnd 11239 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
40 absidm 15267 . . . . . . . . 9 (((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) = (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) = (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
4232, 41eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) = (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
4331, 18eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
44 rddif 15284 . . . . . . . . 9 ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โ‰ค (1 / 2))
4517, 44syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โ‰ค (1 / 2))
46 halflt1 12427 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
47 1re 11211 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
4833, 47ltlei 11333 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) < 1 โ†’ (1 / 2) โ‰ค 1)
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โ‰ค 1
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โ‰ค 1)
5143, 34, 25, 45, 50letrd 11368 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((โŒŠโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด) + (1 / 2))) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โ‰ค 1)
5242, 51eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โ‰ค 1)
5324, 25, 27, 29, 52lemul2ad 12151 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) ยท (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) โ‰ค (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) ยท 1))
54 ax-1rid 11177 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) ยท 1) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
5527, 54syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) ยท 1) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
5653, 55breqtrd 5174 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) ยท (absโ€˜(๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
5723, 56eqbrtrd 5170 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
58 eqidd 2734 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š)) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š)))
59 oveq2 7414 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
6059adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
6158, 60, 3, 27fvmptd 7003 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š))โ€˜๐‘€) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€))
6261eqcomd 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘€) = ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š))โ€˜๐‘€))
6357, 62breqtrd 5174 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))) โ‰ค ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š))โ€˜๐‘€))
645, 63eqbrtrd 5170 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€)) โ‰ค ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘š))โ€˜๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โŒŠcfl 13752  โ†‘cexp 14024  abscabs 15178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180
This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  35363
  Copyright terms: Public domain W3C validator