Theorem knoppcnlem4 34959

Description: Lemma for knoppcn 34967. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 34956	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5	4	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem4.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7, 3	expcld 14051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
9		knoppcnlem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10		2re 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12		knoppcnlem4.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		nnre 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11, 14	remulcld 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
16	15, 3	reexpcld 14068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
17	16, 2	remulcld 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
18	9, 17	dnicld2 34936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
20	8, 19	absmuld 15339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
21	7, 3	absexpd 15337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶↑𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
22	21	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
23	20, 22	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
24	19	abscld 15321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25		1red 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26	7	abscld 15321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26, 3	reexpcld 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
28	7	absge0d 15329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
29	26, 3, 28	expge0d 14069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
30	9	dnival 34934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
31	17, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
32	31	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33		halfre 12367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
35	17, 34	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36		reflcl 13701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
38	37, 17	resubcld 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40		absidm 15208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
42	32, 41	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
43	31, 18	eqeltrrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44		rddif 15225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
45	17, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46		halflt1 12371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
47		1re 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
48	33, 47	ltlei 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
51	43, 34, 25, 45, 50	letrd 11312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
52	42, 51	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
53	24, 25, 27, 29, 52	lemul2ad 12095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54		ax-1rid 11121	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
55	27, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
56	53, 55	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
57	23, 56	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
60	59	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
61	58, 60, 3, 27	fvmptd 6955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
62	61	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
63	57, 62	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
64	5, 63	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ⌊cfl 13695  ↑cexp 13967  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  34961