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Theorem knoppcnlem4 34959
Description: Lemma for knoppcn 34967. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem4 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem4.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 knoppcnlem4.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem4.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
41, 2, 3knoppcnlem1 34956 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
54fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6 knoppcnlem4.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87, 3expcld 14051 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
9 knoppcnlem4.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12 knoppcnlem4.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
13 nnre 12160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1511, 14remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1615, 3reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
1716, 2remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
189, 17dnicld2 34936 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
208, 19absmuld 15339 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
217, 3absexpd 15337 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
2221oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2320, 22eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2419abscld 15321 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25 1red 11156 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
267abscld 15321 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2726, 3reexpcld 14068 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
287absge0d 15329 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
2926, 3, 28expge0d 14069 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
309dnival 34934 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3117, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3231fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33 halfre 12367 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3517, 34readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36 reflcl 13701 . . . . . . . . . . . 12 (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3837, 17resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
3938recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40 absidm 15208 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4232, 41eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4331, 18eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44 rddif 15225 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
4517, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46 halflt1 12371 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
47 1re 11155 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4833, 47ltlei 11277 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ≤ 1
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
5143, 34, 25, 45, 50letrd 11312 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5242, 51eqbrtrd 5127 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5324, 25, 27, 29, 52lemul2ad 12095 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54 ax-1rid 11121 . . . . . 6 (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5527, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5653, 55breqtrd 5131 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5723, 56eqbrtrd 5127 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6059adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6158, 60, 3, 27fvmptd 6955 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6261eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
6357, 62breqtrd 5131 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
645, 63eqbrtrd 5127 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cfl 13695  cexp 13967  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  34961
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