Theorem knoppcnlem4 36970

Description: Lemma for knoppcn 36978. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 36967	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5	4	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem4.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7, 3	expcld 14178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
9		knoppcnlem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10		2re 12311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12		knoppcnlem4.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		nnre 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11, 14	remulcld 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
16	15, 3	reexpcld 14195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
17	16, 2	remulcld 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
18	9, 17	dnicld2 36947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
20	8, 19	absmuld 15504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
21	7, 3	absexpd 15502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶↑𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
22	21	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶↑𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
23	20, 22	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
24	19	abscld 15486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25		1red 11205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
26	7	abscld 15486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26, 3	reexpcld 14195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
28	7	absge0d 15494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
29	26, 3, 28	expge0d 14196	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
30	9	dnival 36945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
31	17, 30	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
32	31	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33		halfre 12453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
35	17, 34	readdcld 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36		reflcl 13825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
38	37, 17	resubcld 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40		absidm 15371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
42	32, 41	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
43	31, 18	eqeltrrd 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44		rddif 15388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
45	17, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46		halflt1 12457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
47		1re 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
48	33, 47	ltlei 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
51	43, 34, 25, 45, 50	letrd 11363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
52	42, 51	eqbrtrd 5134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
53	24, 25, 27, 29, 52	lemul2ad 12151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54		ax-1rid 11166	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
55	27, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
56	53, 55	breqtrd 5138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
57	23, 56	eqbrtrd 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
60	59	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
61	58, 60, 3, 27	fvmptd 6995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
62	61	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
63	57, 62	breqtrd 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
64	5, 63	eqbrtrd 5134	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ⌊cfl 13819  ↑cexp 14093  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283

This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  36972