Theorem dnizeq0 37341

Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizeq0.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizeq0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizeq0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12803	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		dnizeq0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4	3	dnival 37337	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6		halfre 12559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	1, 7	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		flzadd 13966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
11	6	rexri 11367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
12		0re 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		halfgt0 12561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (1 / 2)
14	12, 6, 13	ltleii 11433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
15		halflt1 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17		0xr 11356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		1xr 11368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
19	17, 18	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
20		elico1 13519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22	16, 21	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,)1)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
24		ico01fl0 13959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
26	25	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
27	2	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	addridd 11510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
29	26, 28	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
30	10, 29	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
31	30	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
32	27	subidd 11657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
33	31, 32	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
34	33	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
35		abs0 15452	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘0) = 0)
37	34, 36	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
38	5, 37	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤcz 12693  [,)cico 13478  ⌊cfl 13930  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  knoppndvlem6  37383  knoppndvlem8  37385