Theorem dnizeq0 36470

Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizeq0.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizeq0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizeq0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12645	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		dnizeq0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4	3	dnival 36466	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6		halfre 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	1, 7	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		flzadd 13795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
11	6	rexri 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
12		0re 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		halfgt0 12404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (1 / 2)
14	12, 6, 13	ltleii 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
15		halflt1 12406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17		0xr 11228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		1xr 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
19	17, 18	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
20		elico1 13356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22	16, 21	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,)1)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
24		ico01fl0 13788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
26	25	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
27	2	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	addridd 11381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
29	26, 28	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
30	10, 29	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
31	30	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
32	27	subidd 11528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
33	31, 32	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
34	33	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
35		abs0 15258	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘0) = 0)
37	34, 36	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
38	5, 37	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536  [,)cico 13315  ⌊cfl 13759  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36512  knoppndvlem8  36514