Theorem dnizeq0 36526

Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizeq0.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizeq0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizeq0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		dnizeq0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4	3	dnival 36522	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6		halfre 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	1, 7	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		flzadd 13736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
11	6	rexri 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
12		0re 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		halfgt0 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (1 / 2)
14	12, 6, 13	ltleii 11242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
15		halflt1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17		0xr 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		1xr 11177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
19	17, 18	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
20		elico1 13294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22	16, 21	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,)1)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
24		ico01fl0 13729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
26	25	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
27	2	recnd 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	addridd 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
29	26, 28	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
30	10, 29	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
31	30	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
32	27	subidd 11466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
33	31, 32	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
34	33	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
35		abs0 15198	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘0) = 0)
37	34, 36	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
38	5, 37	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015  ℝ^*cxr 11151   < clt 11152   ≤ cle 11153   − cmin 11350   / cdiv 11780  2c2 12186  ℤcz 12474  [,)cico 13253  ⌊cfl 13700  abscabs 15147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-ico 13257  df-fl 13702  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36568  knoppndvlem8  36570