Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizeq0 33802
Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizeq0.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizeq0 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0
StepHypRef Expression
1 dnizeq0.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 12079 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 dnizeq0.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
43dnival 33798 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
52, 4syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6 halfre 11843 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
81, 7jca 514 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 flzadd 13188 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
116rexri 10691 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
12 0re 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
13 halfgt0 11845 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
1412, 6, 13ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (1 / 2)
15 halflt1 11847 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
1611, 14, 153pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17 0xr 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
18 1xr 10692 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
1917, 18pm3.2i 473 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
20 elico1 12773 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
2216, 21mpbir 233 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ (0[,)1)
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
24 ico01fl0 13181 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2625oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
272recnd 10661 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2827addid1d 10832 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2926, 28eqtrd 2854 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
3010, 29eqtrd 2854 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
3130oveq1d 7163 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴𝐴))
3227subidd 10977 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
3331, 32eqtrd 2854 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
3433fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
35 abs0 14637 . . . 4 (abs‘0) = 0
3635a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘0) = 0)
3734, 36eqtrd 2854 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
385, 37eqtrd 2854 1 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  cz 11973  [,)cico 12732  cfl 13152  abscabs 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  33844  knoppndvlem8  33846
  Copyright terms: Public domain W3C validator