Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizeq0 35858
Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizeq0.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizeq0 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0
StepHypRef Expression
1 dnizeq0.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 12667 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 dnizeq0.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
43dnival 35854 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
52, 4syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6 halfre 12427 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
81, 7jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 flzadd 13794 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
116rexri 11273 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
12 0re 11217 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
13 halfgt0 12429 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
1412, 6, 13ltleii 11338 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (1 / 2)
15 halflt1 12431 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
1611, 14, 153pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17 0xr 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
18 1xr 11274 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
1917, 18pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
20 elico1 13370 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
2216, 21mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ (0[,)1)
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
24 ico01fl0 13787 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2625oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
272recnd 11243 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2827addridd 11415 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2926, 28eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
3010, 29eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
3130oveq1d 7419 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴𝐴))
3227subidd 11560 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
3331, 32eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
3433fveq2d 6888 . . 3 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
35 abs0 15235 . . . 4 (abs‘0) = 0
3635a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘0) = 0)
3734, 36eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
385, 37eqtrd 2766 1 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  *cxr 11248   < clt 11249  cle 11250  cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  cz 12559  [,)cico 13329  cfl 13758  abscabs 15184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  35900  knoppndvlem8  35902
  Copyright terms: Public domain W3C validator