Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizeq0 33048
 Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizeq0.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizeq0 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0
StepHypRef Expression
1 dnizeq0.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 11834 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 dnizeq0.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
43dnival 33044 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
52, 4syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6 halfre 11596 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
81, 7jca 507 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 flzadd 12946 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
116rexri 10435 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
12 0re 10378 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
13 halfgt0 11598 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
1412, 6, 13ltleii 10499 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (1 / 2)
15 halflt1 11600 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
1611, 14, 153pm3.2i 1395 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17 0xr 10423 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
18 1xr 10436 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
1917, 18pm3.2i 464 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
20 elico1 12530 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
2216, 21mpbir 223 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ (0[,)1)
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
24 ico01fl0 12939 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2625oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
272recnd 10405 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2827addid1d 10576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2926, 28eqtrd 2813 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
3010, 29eqtrd 2813 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
3130oveq1d 6937 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴𝐴))
3227subidd 10722 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
3331, 32eqtrd 2813 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
3433fveq2d 6450 . . 3 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
35 abs0 14432 . . . 4 (abs‘0) = 0
3635a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘0) = 0)
3734, 36eqtrd 2813 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
385, 37eqtrd 2813 1 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  ℝ*cxr 10410   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  ℤcz 11728  [,)cico 12489  ⌊cfl 12910  abscabs 14381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383 This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  33090  knoppndvlem8  33092
 Copyright terms: Public domain W3C validator