Theorem ee7.2aOLD 36494

Description: Lemma for Euclid's Elements, Book 7, proposition 2. The original mentions the smaller measure being 'continually subtracted' from the larger. Many authors interpret this phrase as 𝐴 mod 𝐵. Here, just one subtraction step is proved to preserve the gcd_OLD. The rec function will be used in other proofs for iterated subtraction. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ee7.2aOLD	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem ee7.2aOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivsub 36490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))
2	1	exp32 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
3	2	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
4	3	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
5	4	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
7	6	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
8	7	pm5.32d 577	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
9	8	rabbidva 3401	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)})
10	9	supeq1d 9330	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ))
11		df-gcdOLD 36493	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, 𝐵) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
12		df-gcdOLD 36493	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)))
14	13	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  supcsup 9324   < clt 11143   − cmin 11341   / cdiv 11771  ℕcn 12122   gcd_OLD cgcdOLD 36492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-gcdOLD 36493

This theorem is referenced by: (None)