Theorem ee7.2aOLD 36526

Description: Lemma for Euclid's Elements, Book 7, proposition 2. The original mentions the smaller measure being 'continually subtracted' from the larger. Many authors interpret this phrase as 𝐴 mod 𝐵. Here, just one subtraction step is proved to preserve the gcd_OLD. The rec function will be used in other proofs for iterated subtraction. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ee7.2aOLD	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem ee7.2aOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivsub 36522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))
2	1	exp32 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
3	2	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
4	3	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
5	4	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
7	6	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
8	7	pm5.32d 577	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
9	8	rabbidva 3402	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)})
10	9	supeq1d 9337	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ))
11		df-gcdOLD 36525	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, 𝐵) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
12		df-gcdOLD 36525	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2793	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)))
14	13	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  supcsup 9331   < clt 11153   − cmin 11351   / cdiv 11781  ℕcn 12132   gcd_OLD cgcdOLD 36524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-gcdOLD 36525

This theorem is referenced by: (None)