Theorem ee7.2aOLD 35854

Description: Lemma for Euclid's Elements, Book 7, proposition 2. The original mentions the smaller measure being 'continually subtracted' from the larger. Many authors interpret this phrase as 𝐴 mod 𝐵. Here, just one subtraction step is proved to preserve the gcd_OLD. The rec function will be used in other proofs for iterated subtraction. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ee7.2aOLD	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem ee7.2aOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivsub 35850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))
2	1	exp32 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
3	2	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
4	3	3expia 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
5	4	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
7	6	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
8	7	pm5.32d 576	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
9	8	rabbidva 3433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)})
10	9	supeq1d 9443	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ))
11		df-gcdOLD 35853	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, 𝐵) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
12		df-gcdOLD 35853	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)))
14	13	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  supcsup 9437   < clt 11252   − cmin 11448   / cdiv 11875  ℕcn 12216   gcd_OLD cgcdOLD 35852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-gcdOLD 35853

This theorem is referenced by: (None)