Theorem ee7.2aOLD 34741

Description: Lemma for Euclid's Elements, Book 7, proposition 2. The original mentions the smaller measure being 'continually subtracted' from the larger. Many authors interpret this phrase as 𝐴 mod 𝐵. Here, just one subtraction step is proved to preserve the gcd_OLD. The rec function will be used in other proofs for iterated subtraction. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ee7.2aOLD	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem ee7.2aOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivsub 34737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))
2	1	exp32 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
3	2	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
4	3	3expia 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
5	4	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))))
6	5	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ ℕ → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ))))
7	6	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
8	7	pm5.32d 577	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)))
9	8	rabbidva 3410	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)})
10	9	supeq1d 9295	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < ))
11		df-gcdOLD 34740	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, 𝐵) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
12		df-gcdOLD 34740	. . 3 ⊢ gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)) = sup({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 𝑥) ∈ ℕ)}, ℕ, < )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2801	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴)))
14	13	ex 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → gcdOLD (𝐴, 𝐵) = gcdOLD (𝐴, (𝐵 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329  supcsup 9289   < clt 11102   − cmin 11298   / cdiv 11725  ℕcn 12066   gcd_OLD cgcdOLD 34739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-gcdOLD 34740

This theorem is referenced by: (None)