Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizphlfeqhlf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizphlfeqhlf 35887
Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizphlfeqhlf.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizphlfeqhlf (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf
StepHypRef Expression
1 dnizphlfeqhlf.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 12688 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 halfre 12448 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 11265 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 dnizphlfeqhlf.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
76dnival 35882 . . 3 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
92recnd 11264 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
104recnd 11264 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
119, 10addcld 11255 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
129, 10, 10addassd 11258 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
13 1cnd 11231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14132halvesd 12480 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1514oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
1612, 15eqtrd 2767 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
171peano2zd 12691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
1816, 17eqeltrd 2828 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
19 flid 13797 . . . . 5 (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2111, 10, 20mvrladdd 11649 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
2221fveq2d 6895 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
23 halfgt0 12450 . . . . 5 0 < (1 / 2)
24 0re 11238 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2524, 3ltlei 11358 . . . . 5 (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
2623, 25ax-mp 5 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
2726a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
284, 27absidd 15393 . 2 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
298, 22, 283eqtrd 2771 1 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  cz 12580  cfl 13779  abscabs 15205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207
This theorem is referenced by:  knoppndvlem9  35931
  Copyright terms: Public domain W3C validator