Theorem dnizphlfeqhlf 37342

Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf	⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizphlfeqhlf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		halfre 12559	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11338	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		dnizphlfeqhlf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
7	6	dnival 37337	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
9	2	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 10	addassd 11331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
13		1cnd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	13	2halvesd 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
15	14	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
16	12, 15	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
17	1	peano2zd 12806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
19		flid 13948	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
21	11, 10, 20	mvrladdd 11728	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
22	21	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
23		halfgt0 12561	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
24		0re 11310	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 3	ltlei 11432	. . . . 5 ⊢ (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
28	4, 27	absidd 15590	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
29	8, 22, 28	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤcz 12693  ⌊cfl 13930  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  knoppndvlem9  37386