Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizphlfeqhlf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizphlfeqhlf 33889
Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizphlfeqhlf.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizphlfeqhlf (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf
StepHypRef Expression
1 dnizphlfeqhlf.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 12075 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 halfre 11839 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 10659 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 dnizphlfeqhlf.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
76dnival 33884 . . 3 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
92recnd 10658 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
104recnd 10658 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
119, 10addcld 10649 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
129, 10, 10addassd 10652 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
13 1cnd 10625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14132halvesd 11871 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1514oveq2d 7156 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
1612, 15eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
171peano2zd 12078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
1816, 17eqeltrd 2914 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
19 flid 13173 . . . . 5 (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2111, 10, 20mvrladdd 11042 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
2221fveq2d 6656 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
23 halfgt0 11841 . . . . 5 0 < (1 / 2)
24 0re 10632 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2524, 3ltlei 10751 . . . . 5 (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
2623, 25ax-mp 5 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
2726a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
284, 27absidd 14773 . 2 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
298, 22, 283eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  cz 11969  cfl 13155  abscabs 14584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586
This theorem is referenced by:  knoppndvlem9  33933
  Copyright terms: Public domain W3C validator