Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizphlfeqhlf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizphlfeqhlf 33368
 Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizphlfeqhlf.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizphlfeqhlf (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf
StepHypRef Expression
1 dnizphlfeqhlf.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 11899 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 halfre 11660 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 10468 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 dnizphlfeqhlf.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
76dnival 33363 . . 3 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
92recnd 10467 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
104recnd 10467 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
119, 10addcld 10458 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
129, 10, 10addassd 10461 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
13 1cnd 10433 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14132halvesd 11692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1514oveq2d 6991 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
1612, 15eqtrd 2809 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
171peano2zd 11902 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
1816, 17eqeltrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
19 flid 12992 . . . . 5 (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
2111, 10, 20mvrladdd 10853 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
2221fveq2d 6501 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
23 halfgt0 11662 . . . . 5 0 < (1 / 2)
24 0re 10440 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2524, 3ltlei 10561 . . . . 5 (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
2623, 25ax-mp 5 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
2726a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
284, 27absidd 14642 . 2 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
298, 22, 283eqtrd 2813 1 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926   ↦ cmpt 5005  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   ≤ cle 10474   − cmin 10669   / cdiv 11097  2c2 11494  ℤcz 11792  ⌊cfl 12974  abscabs 14453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-fl 12976  df-seq 13184  df-exp 13244  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455 This theorem is referenced by:  knoppndvlem9  33412
 Copyright terms: Public domain W3C validator