Theorem dnizphlfeqhlf 36651

Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf	⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizphlfeqhlf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		halfre 12358	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		dnizphlfeqhlf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
7	6	dnival 36646	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
9	2	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 10	addassd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
13		1cnd 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	13	2halvesd 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
15	14	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
16	12, 15	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
17	1	peano2zd 12603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
19		flid 13732	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
21	11, 10, 20	mvrladdd 11554	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
22	21	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
23		halfgt0 12360	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
24		0re 11138	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 3	ltlei 11259	. . . . 5 ⊢ (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
28	4, 27	absidd 15350	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
29	8, 22, 28	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12204  ℤcz 12492  ⌊cfl 13714  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  knoppndvlem9  36695