Theorem dnizphlfeqhlf 37093

Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf	⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizphlfeqhlf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		halfre 12463	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		dnizphlfeqhlf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
7	6	dnival 37088	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
9	2	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 10	addassd 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
13		1cnd 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	13	2halvesd 12496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
16	12, 15	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
17	1	peano2zd 12709	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
19		flid 13848	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
21	11, 10, 20	mvrladdd 11633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
22	21	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
23		halfgt0 12465	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
24		0re 11216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 3	ltlei 11338	. . . . 5 ⊢ (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
28	4, 27	absidd 15481	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
29	8, 22, 28	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447   / cdiv 11877  2c2 12301  ℤcz 12597  ⌊cfl 13830  abscabs 15292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294

This theorem is used by:  knoppndvlem9  37137