Theorem dnizphlfeqhlf 36749

Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf	⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizphlfeqhlf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		halfre 12379	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		dnizphlfeqhlf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
7	6	dnival 36744	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
9	2	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 10	addassd 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
13		1cnd 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	13	2halvesd 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
15	14	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
16	12, 15	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
17	1	peano2zd 12625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
19		flid 13756	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
21	11, 10, 20	mvrladdd 11552	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
22	21	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
23		halfgt0 12381	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
24		0re 11135	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 3	ltlei 11257	. . . . 5 ⊢ (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
28	4, 27	absidd 15374	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
29	8, 22, 28	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12225  ℤcz 12513  ⌊cfl 13738  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187

This theorem is referenced by:  knoppndvlem9  36793