Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnicld1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnicld1 34693
Description: Closure theorem for the "distance to nearest integer" function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
dnicld1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnicld1 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem dnicld1
StepHypRef Expression
1 dnicld1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 halfre 12229 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
41, 3jca 513 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5 readdcl 10996 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7 reflcl 13558 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
98recnd 11045 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
101recnd 11045 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
119, 10subcld 11374 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
1211abscld 15189 1 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2104  cfv 6454  (class class class)co 7303  cr 10912  1c1 10914   + caddc 10916  cmin 11247   / cdiv 11674  2c2 12070  cfl 13552  abscabs 14986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-sup 9241  df-inf 9242  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-rp 12773  df-fl 13554  df-seq 13764  df-exp 13825  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988
This theorem is referenced by:  dnicld2  34694  dnif  34695  rddif2  34698  dnibndlem6  34704  dnibndlem7  34705  dnibndlem8  34706  dnibndlem9  34707  dnibndlem11  34709  dnibndlem12  34710
  Copyright terms: Public domain W3C validator