Theorem eldisjs5 38834

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs5	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem eldisjs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs2 38831	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosscnvssid5 38590	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))
3		elrelsrel 38476	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
4	3	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅)))
5	3	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅)))
6	4, 5	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )) ↔ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))))
7	2, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))
8	1, 7	bitrid 283	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   I cid 5508  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614  Rel wrel 5619  [cec 8620   ≀ ccoss 38232   Rels crels 38234   Disjs cdisjs 38265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ec 8624  df-rels 38474  df-coss 38523  df-ssr 38600  df-cnvrefs 38627  df-cnvrefrels 38628  df-disjss 38811  df-disjs 38812

This theorem is referenced by: (None)