Theorem eldisjs5 39323

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs5	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem eldisjs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs2 39320	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosscnvssid5 39068	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))
3		elrelsrel 38942	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
4	3	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅)))
5	3	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅)))
6	4, 5	bibi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )) ↔ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))))
7	2, 6	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))
8	1, 7	bitrid 285	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   I cid 5542  ^◡ccnv 5647  dom cdm 5648  Rel wrel 5653  [cec 8677   ≀ ccoss 38683   Rels crels 38685   Disjs cdisjs 38718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ec 8681  df-rels 38940  df-coss 39001  df-ssr 39078  df-cnvrefs 39105  df-cnvrefrels 39106  df-disjss 39288  df-disjs 39289

This theorem is referenced by: (None)