![]() |
Mathbox for Stefan O'Rear |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > elpell1234qr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Membership in the set of general Pell solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
elpell1234qr | โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ด โ (Pell1234QRโ๐ท) โ (๐ด โ โ โง โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pell1234qrval 41220 | . . 3 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (Pell1234QRโ๐ท) = {๐ โ โ โฃ โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)}) | |
2 | 1 | eleq2d 2820 | . 2 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ด โ (Pell1234QRโ๐ท) โ ๐ด โ {๐ โ โ โฃ โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)})) |
3 | eqeq1 2737 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โ ๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)))) | |
4 | 3 | anbi1d 631 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ ((๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1) โ (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1))) |
5 | 4 | 2rexbidv 3210 | . . 3 โข (๐ = ๐ด โ (โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1) โ โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1))) |
6 | 5 | elrab 3649 | . 2 โข (๐ด โ {๐ โ โ โฃ โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)} โ (๐ด โ โ โง โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1))) |
7 | 2, 6 | bitrdi 287 | 1 โข (๐ท โ (โ โ โปNN) โ (๐ด โ (Pell1234QRโ๐ท) โ (๐ด โ โ โง โ๐ง โ โค โ๐ค โ โค (๐ด = (๐ง + ((โโ๐ท) ยท ๐ค)) โง ((๐งโ2) โ (๐ท ยท (๐คโ2))) = 1)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3070 {crab 3406 โ cdif 3911 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โcr 11058 1c1 11060 + caddc 11062 ยท cmul 11064 โ cmin 11393 โcn 12161 2c2 12216 โคcz 12507 โcexp 13976 โcsqrt 15127 โปNNcsquarenn 41206 Pell1234QRcpell1234qr 41208 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3449 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fv 6508 df-ov 7364 df-pell1234qr 41214 |
This theorem is referenced by: pell1234qrre 41222 pell1234qrne0 41223 pell1234qrreccl 41224 pell1234qrmulcl 41225 pell14qrss1234 41226 pell1234qrdich 41231 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |