Theorem pell1234qrmulcl 42340

Description: General solutions of the Pell equation are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1234qrmulcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1234qrmulcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ad5antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℤ)
6	4, 5	zmulcld 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ)
7		eldifi 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
10	9	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℤ)
11		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℤ)
12		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
13	12	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
14	11, 13	zmulcld 12702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℤ)
15	10, 14	zmulcld 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℤ)
16	6, 15	zaddcld 12700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ)
17	4, 11	zmulcld 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℤ)
18	5, 13	zmulcld 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℤ)
19	17, 18	zaddcld 12700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ)
20		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
21	20	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
22		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
23	21, 22	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
24		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
27	8	nncnd 12258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	31	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
33	29, 32	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
34		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
35	34	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈ ℂ)
36	35	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
37		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℂ)
38	37	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℂ)
39	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℂ)
40	29, 39	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ)
41	26, 33, 36, 40	muladdd 11702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
42	29, 39, 29, 32	mul4d 11456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)))
43	28	msqsqrtd 15419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) = 𝐷)
44	43	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
45	42, 44	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
46	45	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))))
47	26, 29, 39	mul12d 11453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) = ((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)))
48	36, 29, 32	mul12d 11453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏)))
49	47, 48	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
50	26, 39	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℂ)
51	36, 32	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℂ)
52	29, 50, 51	adddid 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
53	49, 52	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
54	46, 53	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
55	23, 41, 54	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
56	50, 51	addcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℂ)
57	29, 56	sqmuld 14154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
58	28	sqsqrtd 15418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
59	58	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
60	57, 59	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2))
61	60	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)))
62	26, 36	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℂ)
63	39, 32	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℂ)
64	28, 63	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℂ)
65	62, 64	addcld 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ)
66	29, 56	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ)
67		subsq 14205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
68	65, 66, 67	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
69	41, 54	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
70	26, 33, 36, 40	mulsubd 11703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
71	46, 53	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
72	70, 71	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
73	69, 72	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
74	61, 68, 73	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
75	26, 33	addcld 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
76	36, 40	addcld 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
77	26, 33	subcld 11601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
78	36, 40	subcld 11601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
79	75, 76, 77, 78	mul4d 11456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
80		subsq 14205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
81	26, 33, 80	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
82		subsq 14205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
83	36, 40, 82	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
84	81, 83	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
85	29, 32	sqmuld 14154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
86	85	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))))
87	29, 39	sqmuld 14154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))
88	87	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))))
89	86, 88	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
90	79, 84, 89	3eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
91	58	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
92	91	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
93	58	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (𝑑↑2)))
94	93	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))) = ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
95	92, 94	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))))
96		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
97	96	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
98		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
99	97, 98	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))) = (1 · 1))
100		1t1e1 12404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 1) = 1
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (1 · 1) = 1)
102	95, 99, 101	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = 1)
103	74, 90, 102	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)
104		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)))
105	104	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓))))
106		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒↑2) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2))
107	106	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))))
108	107	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
109	105, 108	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
110		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((√‘𝐷) · 𝑓) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
111	110	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
112	111	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
113		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝑓↑2) = (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))
114	113	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝐷 · (𝑓↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
115	114	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))))
116	115	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1))
117	112, 116	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)))
118	109, 117	rspc2ev 3620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
119	16, 19, 55, 103, 118	syl112anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
120	2, 119	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
121	120	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
122	121	rexlimdvva 3202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
123	122	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
124	123	rexlimdvva 3202	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
125	124	impd 409	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
126	125	expimpd 452	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
127		elpell1234qr 42336	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
128		elpell1234qr 42336	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
129	127, 128	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
130		an4 654	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
131	129, 130	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
132		elpell1234qr 42336	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
133	126, 131, 132	3imtr4d 293	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
134	133	3impib 1113	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3942  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474  ℕcn 12242  2c2 12297  ℤcz 12588  ↑cexp 14058  √csqrt 15212  ◻_NNcsquarenn 42321  Pell1234QRcpell1234qr 42323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-pell1234qr 42329

This theorem is referenced by:  pell14qrmulcl  42348