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Theorem pell1234qrmulcl 38097
Description: General solutions of the Pell equation are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrmulcl ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1234qrmulcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 10274 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
21ad5antlr 730 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
43ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℤ)
64, 5zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ)
7 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
87ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
98nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
109ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℤ)
11 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℤ)
12 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
1312ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
1411, 13zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℤ)
1510, 14zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℤ)
166, 15zaddcld 11733 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ)
174, 11zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℤ)
185, 13zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℤ)
1917, 18zaddcld 11733 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ)
20 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
2120ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
22 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
2321, 22oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
24 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
2524ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
2625ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
278nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2827ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2928sqrtcld 14461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
3130ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3231ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3329, 32mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
34 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈ ℂ)
3635ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
37 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℂ)
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℂ)
3938ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℂ)
4029, 39mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ)
4126, 33, 36, 40muladdd 10743 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
4229, 39, 29, 32mul4d 10502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)))
4328msqsqrtd 14464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) = 𝐷)
4443oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
4542, 44eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
4645oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))))
4726, 29, 39mul12d 10499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) = ((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)))
4836, 29, 32mul12d 10499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏)))
4947, 48oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
5026, 39mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℂ)
5136, 32mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℂ)
5229, 50, 51adddid 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
5349, 52eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
5446, 53oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
5523, 41, 543eqtrd 2803 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
5650, 51addcld 10313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℂ)
5729, 56sqmuld 13227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
5828sqsqrtd 14463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
5958oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
6057, 59eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2))
6160oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)))
6226, 36mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℂ)
6339, 32mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℂ)
6428, 63mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℂ)
6562, 64addcld 10313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ)
6629, 56mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ)
67 subsq 13179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
6865, 66, 67syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
6941, 54eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
7026, 33, 36, 40mulsubd 10744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
7146, 53oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
7270, 71eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
7369, 72oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
7461, 68, 733eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
7526, 33addcld 10313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
7636, 40addcld 10313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
7726, 33subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
7836, 40subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
7975, 76, 77, 78mul4d 10502 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
80 subsq 13179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
8126, 33, 80syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
82 subsq 13179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
8336, 40, 82syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
8481, 83oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
8529, 32sqmuld 13227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
8685oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))))
8729, 39sqmuld 13227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))
8887oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))))
8986, 88oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
9079, 84, 893eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
9158oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
9291oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
9358oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (𝑑↑2)))
9493oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))) = ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
9592, 94oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))))
96 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
9796ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
98 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
9997, 98oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))) = (1 · 1))
100 1t1e1 11440 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 1) = 1
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (1 · 1) = 1)
10295, 99, 1013eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = 1)
10374, 90, 1023eqtrd 2803 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)
104 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)))
105104eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓))))
106 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒↑2) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2))
107106oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))))
108107eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
109105, 108anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
110 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((√‘𝐷) · 𝑓) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
111110oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
112111eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
113 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝑓↑2) = (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))
114113oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝐷 · (𝑓↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
115114oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))))
116115eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1))
117112, 116anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)))
118109, 117rspc2ev 3476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
11916, 19, 55, 103, 118syl112anc 1493 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
1202, 119jca 507 . . . . . . . . 9 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
121120ex 401 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
122121rexlimdvva 3185 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
123122ex 401 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
124123rexlimdvva 3185 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
125124impd 398 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
126125expimpd 445 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
127 elpell1234qr 38093 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
128 elpell1234qr 38093 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
129127, 128anbi12d 624 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
130 an4 646 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
131129, 130syl6bb 278 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
132 elpell1234qr 38093 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
133126, 131, 1323imtr4d 285 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
1341333impib 1144 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  cdif 3729  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cexp 13067  csqrt 14258  NNcsquarenn 38078  Pell1234QRcpell1234qr 38080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-pell1234qr 38086
This theorem is referenced by:  pell14qrmulcl  38105
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