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Theorem pell1234qrreccl 38099
Description: General solutions of the Pell equation are closed under reciprocals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrreccl ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1234qrreccl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 38096 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
21biimpa 468 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
3 pell1234qrre 38097 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 pell1234qrne0 38098 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
53, 4rereccld 11108 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
65ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
7 simplrl 795 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
8 simplrr 796 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
98znegcld 11734 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℤ)
105recnd 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
1110ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
12 zcn 11631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
1413ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
15 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
1615nncnd 11294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
1716ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
1817sqrtcld 14464 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
198zcnd 11733 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
2019negcld 10635 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 10316 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) ∈ ℂ)
2214, 21addcld 10315 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∈ ℂ)
233recnd 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2423ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
254ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0)
2618, 19sqmuld 13230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
2717sqsqrtd 14466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
2827oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
2926, 28eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
3029oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
31 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
3218, 19mulcld 10316 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
33 subsq 13182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
3414, 32, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
3530, 31, 343eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
3624, 25recidd 11052 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
37 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
3818, 19mulneg2d 10740 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
3938oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
4014, 32negsubd 10654 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
4139, 40eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
4237, 41oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
4335, 36, 423eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
4411, 22, 24, 25, 43mulcanad 10918 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
45 sqneg 13133 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
4619, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
4746oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
4847oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
4948, 31eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
50 oveq1 6851 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
5150eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
52 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐↑2) = (𝑎↑2))
5352oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
5453eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
5551, 54anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑎 → (((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
56 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑑) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
5756oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = -𝑏 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
5857eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = -𝑏 → ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
59 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = -𝑏 → (𝑑↑2) = (-𝑏↑2))
6059oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
6160oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = -𝑏 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
6261eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = -𝑏 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
6358, 62anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑑 = -𝑏 → (((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
6455, 63rspc2ev 3477 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
657, 9, 44, 49, 64syl112anc 1493 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
666, 65jca 507 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
6766ex 401 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
6867rexlimdvva 3185 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
6968adantld 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
702, 69mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
71 elpell1234qr 38096 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
7271adantr 472 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
7370, 72mpbird 248 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cdif 3731  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  cz 11626  cexp 13070  csqrt 14261  NNcsquarenn 38081  Pell1234QRcpell1234qr 38083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-seq 13012  df-exp 13071  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-pell1234qr 38089
This theorem is referenced by:  pell14qrreccl  38109
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