Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrreccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1234qrreccl 41224
Description: General solutions of the Pell equation are closed under reciprocals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrreccl ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pell1234qrreccl
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 41221 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
21biimpa 478 . . 3 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)))
3 pell1234qrre 41222 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 pell1234qrne0 41223 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
53, 4rereccld 11990 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
65ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
7 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
8 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
98znegcld 12617 . . . . . . . 8 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
105recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12512 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
15 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12177 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1817sqrtcld 15331 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
198zcnd 12616 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2019negcld 11507 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„‚)
2118, 20mulcld 11183 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘) โˆˆ โ„‚)
2214, 21addcld 11182 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘)) โˆˆ โ„‚)
233recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
254ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
2618, 19sqmuld 14072 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2) = (((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
2717sqsqrtd 15333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
2827oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)))
2926, 28eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) = (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2))
3029oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)))
31 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
3218, 19mulcld 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
33 subsq 14123 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
3414, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
3530, 31, 343eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
3624, 25recidd 11934 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
37 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
3818, 19mulneg2d 11617 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘) = -((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))
3938oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘)) = (๐‘Ž + -((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
4014, 32negsubd 11526 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž + -((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
4139, 40eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘)) = (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
4237, 41oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘))) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
4335, 36, 423eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = (๐ด ยท (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘))))
4411, 22, 24, 25, 43mulcanad 11798 . . . . . . . 8 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘)))
45 sqneg 14030 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
4619, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (-๐‘โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
4746oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)))
4847oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2))) = ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))))
4948, 31eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2))) = 1)
50 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
5150eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โ†” (1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))))
52 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘Žโ†‘2))
5352oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))))
5453eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))
5551, 54anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†” ((1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)))
56 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘))
5756oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘)))
5857eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ ((1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โ†” (1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘))))
59 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ (๐‘‘โ†‘2) = (-๐‘โ†‘2))
6059oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2)))
6160oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2))))
6261eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2))) = 1))
6358, 62anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = -๐‘ โ†’ (((1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†” ((1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2))) = 1)))
6455, 63rspc2ev 3594 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((1 / ๐ด) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท -๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (-๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))
657, 9, 44, 49, 64syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))
666, 65jca 513 . . . . . 6 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)))
6766ex 414 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))))
6867rexlimdvva 3202 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))))
6968adantld 492 . . 3 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))))
702, 69mpd 15 . 2 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)))
71 elpell1234qr 41221 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†” ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))))
7271adantr 482 . 2 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†” ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ((1 / ๐ด) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1))))
7370, 72mpbird 257 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3911  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127  โ—ปNNcsquarenn 41206  Pell1234QRcpell1234qr 41208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-pell1234qr 41214
This theorem is referenced by:  pell14qrreccl  41234
  Copyright terms: Public domain W3C validator