| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | elpell1234qr 42862 |
. . . 4
⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))) |
| 2 | 1 | biimpa 476 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))) |
| 3 | | pell1234qrre 42863 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 4 | | pell1234qrne0 42864 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0) |
| 5 | 3, 4 | rereccld 12094 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ) |
| 6 | 5 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈
ℝ) |
| 7 | | simplrl 777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℤ) |
| 8 | | simplrr 778 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ) |
| 9 | 8 | znegcld 12724 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℤ) |
| 10 | 5 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ) |
| 11 | 10 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈
ℂ) |
| 12 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈
ℂ) |
| 13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈
ℂ) |
| 14 | 13 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ) |
| 15 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ) |
| 16 | 15 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ) |
| 17 | 16 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ) |
| 18 | 17 | sqrtcld 15476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈
ℂ) |
| 19 | 8 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 20 | 19 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℂ) |
| 21 | 18, 20 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) ∈ ℂ) |
| 22 | 14, 21 | addcld 11280 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∈ ℂ) |
| 23 | 3 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 24 | 23 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 25 | 4 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0) |
| 26 | 18, 19 | sqmuld 14198 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) →
(((√‘𝐷)
· 𝑏)↑2) =
(((√‘𝐷)↑2)
· (𝑏↑2))) |
| 27 | 17 | sqsqrtd 15478 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷) |
| 28 | 27 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) →
(((√‘𝐷)↑2)
· (𝑏↑2)) =
(𝐷 · (𝑏↑2))) |
| 29 | 26, 28 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) |
| 30 | 29 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))) |
| 31 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) |
| 32 | 18, 19 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) |
| 33 | | subsq 14249 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧
((√‘𝐷) ·
𝑏) ∈ ℂ) →
((𝑎↑2) −
(((√‘𝐷)
· 𝑏)↑2)) =
((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))) |
| 34 | 14, 32, 33 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))) |
| 35 | 30, 31, 34 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))) |
| 36 | 24, 25 | recidd 12038 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1) |
| 37 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))) |
| 38 | 18, 19 | mulneg2d 11717 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏)) |
| 39 | 38 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏))) |
| 40 | 14, 32 | negsubd 11626 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) |
| 41 | 39, 40 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) |
| 42 | 37, 41 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))) |
| 43 | 35, 36, 42 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))) |
| 44 | 11, 22, 24, 25, 43 | mulcanad 11898 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))) |
| 45 | | sqneg 14156 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2)) |
| 46 | 19, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2)) |
| 47 | 46 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2))) |
| 48 | 47 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2)))) |
| 49 | 48, 31 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1) |
| 50 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) |
| 51 | 50 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))) |
| 52 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐↑2) = (𝑎↑2)) |
| 53 | 52 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))) |
| 54 | 53 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) |
| 55 | 51, 54 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) |
| 56 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑑) = ((√‘𝐷) · -𝑏)) |
| 57 | 56 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))) |
| 58 | 57 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))) |
| 59 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝑑↑2) = (-𝑏↑2)) |
| 60 | 59 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2))) |
| 61 | 60 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2)))) |
| 62 | 61 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑑 = -𝑏 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) |
| 63 | 58, 62 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑑 = -𝑏 → (((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))) |
| 64 | 55, 63 | rspc2ev 3635 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ ℤ ∧ ((1 /
𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) |
| 65 | 7, 9, 44, 49, 64 | syl112anc 1376 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) |
| 66 | 6, 65 | jca 511 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧
∃𝑐 ∈ ℤ
∃𝑑 ∈ ℤ ((1
/ 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) |
| 67 | 66 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧
∃𝑐 ∈ ℤ
∃𝑑 ∈ ℤ ((1
/ 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))) |
| 68 | 67 | rexlimdvva 3213 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧
∃𝑐 ∈ ℤ
∃𝑑 ∈ ℤ ((1
/ 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))) |
| 69 | 68 | adantld 490 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧
∃𝑐 ∈ ℤ
∃𝑑 ∈ ℤ ((1
/ 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))) |
| 70 | 2, 69 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) |
| 71 | | elpell1234qr 42862 |
. . 3
⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))) |
| 72 | 71 | adantr 480 |
. 2
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))) |
| 73 | 70, 72 | mpbird 257 |
1
⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖
◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) |