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Theorem pell1234qrreccl 42842
Description: General solutions of the Pell equation are closed under reciprocals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrreccl ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1234qrreccl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 42839 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
21biimpa 476 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
3 pell1234qrre 42840 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 pell1234qrne0 42841 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
53, 4rereccld 12092 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
65ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
7 simplrl 777 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
8 simplrr 778 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
98znegcld 12722 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℤ)
105recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
1110ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
12 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
1413ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
15 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
1615nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
1716ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
1817sqrtcld 15473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
198zcnd 12721 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
2019negcld 11605 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) ∈ ℂ)
2214, 21addcld 11278 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∈ ℂ)
233recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2423ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
254ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0)
2618, 19sqmuld 14195 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
2717sqsqrtd 15475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
2827oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
2926, 28eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
31 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
3218, 19mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
33 subsq 14246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
3414, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
3530, 31, 343eqtr3d 2783 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
3624, 25recidd 12036 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
37 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
3818, 19mulneg2d 11715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
3938oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
4014, 32negsubd 11624 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
4139, 40eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) = (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)))
4237, 41oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
4335, 36, 423eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = (𝐴 · (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
4411, 22, 24, 25, 43mulcanad 11896 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
45 sqneg 14153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
4619, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
4746oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
4847oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
4948, 31eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
50 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
5150eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
52 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐↑2) = (𝑎↑2))
5352oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
5453eqeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
5551, 54anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑎 → (((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
56 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑑) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = -𝑏 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
5857eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = -𝑏 → ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ (1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
59 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = -𝑏 → (𝑑↑2) = (-𝑏↑2))
6059oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = -𝑏 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
6261eqeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = -𝑏 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
6358, 62anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = -𝑏 → (((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
6455, 63rspc2ev 3635 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝐴) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
657, 9, 44, 49, 64syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
666, 65jca 511 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
6766ex 412 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
6867rexlimdvva 3211 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
6968adantld 490 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
702, 69mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
71 elpell1234qr 42839 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
7271adantr 480 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ ((1 / 𝐴) = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
7370, 72mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cexp 14099  csqrt 15269  NNcsquarenn 42824  Pell1234QRcpell1234qr 42826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-pell1234qr 42832
This theorem is referenced by:  pell14qrreccl  42852
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