Theorem pell1234qrne0 42876

Description: No solution to a Pell equation is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1234qrne0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem pell1234qrne0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1234qr 42874	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
3		ax-1ne0 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
4		eldifi 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
9		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10	9	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝑏 ∈ ℂ)
12	8, 11	sqmuld 14176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
13	7	sqsqrtd 15458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
14	13	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
15	12, 14	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
16	15	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
17		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
20	8, 11	mulcld 11255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
21		subsq 14228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
23	16, 22	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0)
26	25	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (0 · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
27	19, 20	subcld 11594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
28	27	mul02d 11433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (0 · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = 0)
29	26, 28	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = 0)
30	23, 24, 29	3eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 1 = 0)
31	30	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0 → 1 = 0))
32	31	necon3d 2953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1 ≠ 0 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0))
33	3, 32	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0)
34	33	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0)
35	2, 34	eqnetrd 2999	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0)
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐴 ≠ 0))
37	36	rexlimdvva 3198	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐴 ≠ 0))
38	37	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0))
39	1, 38	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0))
40	39	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466  ℕcn 12240  2c2 12295  ℤcz 12588  ↑cexp 14079  √csqrt 15252  ◻_NNcsquarenn 42859  Pell1234QRcpell1234qr 42861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-pell1234qr 42867

This theorem is referenced by:  pell1234qrreccl  42877  pell14qrne0  42881