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Theorem pell1234qrne0 38824
Description: No solution to a Pell equation is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrne0 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem pell1234qrne0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 38822 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2 simprl 758 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
3 ax-1ne0 10400 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
4 eldifi 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
54adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℕ)
65nncnd 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℂ)
76ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
87sqrtcld 14652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
9 zcn 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
109ad2antll 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
1110ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝑏 ∈ ℂ)
128, 11sqmuld 13334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
137sqsqrtd 14654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
1413oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
1512, 14eqtr2d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
1615oveq2d 6990 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
17 zcn 11795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
1817ad2antrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
208, 11mulcld 10456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
21 subsq 13384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
2219, 20, 21syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
2316, 22eqtrd 2811 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24 simplr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0)
2625oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (0 · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
2719, 20subcld 10794 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
2827mul02d 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (0 · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = 0)
2926, 28eqtrd 2811 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = 0)
3023, 24, 293eqtr3d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 1 = 0)
3130ex 405 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0 → 1 = 0))
3231necon3d 2985 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1 ≠ 0 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0))
333, 32mpi 20 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0)
3433adantrl 703 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0)
352, 34eqnetrd 3031 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0)
3635ex 405 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐴 ≠ 0))
3736rexlimdvva 3236 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐴 ≠ 0))
3837expimpd 446 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0))
391, 38sylbid 232 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0))
4039imp 398 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964  wrex 3086  cdif 3825  cfv 6186  (class class class)co 6974  cc 10329  cr 10330  0cc0 10331  1c1 10332   + caddc 10334   · cmul 10336  cmin 10666  cn 11435  2c2 11492  cz 11790  cexp 13241  csqrt 14447  NNcsquarenn 38807  Pell1234QRcpell1234qr 38809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-sup 8697  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-rp 12202  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-pell1234qr 38815
This theorem is referenced by:  pell1234qrreccl  38825  pell14qrne0  38829
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