Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1234qrne0 41205
Description: No solution to a Pell equation is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrne0 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)

Proof of Theorem pell1234qrne0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 41203 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
2 simprl 770 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
3 ax-1ne0 11127 . . . . . . . . 9 1 โ‰  0
4 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
65nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
76ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
109ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
128, 11sqmuld 14070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2) = (((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
137sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
1413oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)))
1512, 14eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) = (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2))
1615oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)))
17 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
208, 11mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
21 subsq 14121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
2316, 22eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0)
2625oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))) = (0 ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
2719, 20subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2827mul02d 11360 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (0 ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))) = 0)
2926, 28eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))) = 0)
3023, 24, 293eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ 1 = 0)
3130ex 414 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0 โ†’ 1 = 0))
3231necon3d 2965 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ‰  0))
333, 32mpi 20 . . . . . . . 8 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ‰  0)
3433adantrl 715 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ‰  0)
352, 34eqnetrd 3012 . . . . . 6 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
3635ex 414 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ด โ‰  0))
3736rexlimdvva 3206 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ด โ‰  0))
3837expimpd 455 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โ‰  0))
391, 38sylbid 239 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†’ ๐ด โ‰  0))
4039imp 408 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074   โˆ– cdif 3912  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125  โ—ปNNcsquarenn 41188  Pell1234QRcpell1234qr 41190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-pell1234qr 41196
This theorem is referenced by:  pell1234qrreccl  41206  pell14qrne0  41210
  Copyright terms: Public domain W3C validator