Theorem pell1234qrne0 43507

Description: No solution to a Pell equation is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1234qrne0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem pell1234qrne0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1234qr 43505	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
3		ax-1ne0 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
4		eldifi 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
9		zcn 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10	9	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝑏 ∈ ℂ)
12	8, 11	sqmuld 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
13	7	sqsqrtd 15493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
14	13	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
15	12, 14	eqtr2d 2805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2))
16	15	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)))
17		zcn 12596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
20	8, 11	mulcld 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
21		subsq 14246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
22	19, 20, 21	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
23	16, 22	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
25		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0)
26	25	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (0 · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
27	19, 20	subcld 11569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
28	27	mul02d 11408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → (0 · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = 0)
29	26, 28	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) = 0)
30	23, 24, 29	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0) → 1 = 0)
31	30	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = 0 → 1 = 0))
32	31	necon3d 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1 ≠ 0 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0))
33	3, 32	mpi 21	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0)
34	33	adantrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ≠ 0)
35	2, 34	eqnetrd 3031	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0)
36	35	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐴 ≠ 0))
37	36	rexlimdvva 3228	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐴 ≠ 0))
38	37	expimpd 458	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ≠ 0))
39	1, 38	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0))
40	39	imp 411	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3908  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441  ℕcn 12233  2c2 12295  ℤcz 12591  ↑cexp 14097  √csqrt 15284  ◻_NNcsquarenn 43490  Pell1234QRcpell1234qr 43492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-pell1234qr 43498

This theorem is referenced by:  pell1234qrreccl  43508  pell14qrne0  43512