Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1234qrne0 42195
Description: No solution to a Pell equation is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrne0 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)

Proof of Theorem pell1234qrne0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 42193 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
2 simprl 770 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
3 ax-1ne0 11199 . . . . . . . . 9 1 โ‰  0
4 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
65nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
76ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
109ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
128, 11sqmuld 14146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2) = (((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
137sqsqrtd 15410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
1413oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)))
1512, 14eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) = (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2))
1615oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)))
17 zcn 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
208, 11mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
21 subsq 14197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
2219, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)โ†‘2)) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
2316, 22eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0)
2625oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))) = (0 ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
2719, 20subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2827mul02d 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ (0 ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))) = 0)
2926, 28eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))) = 0)
3023, 24, 293eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โˆง (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0) โ†’ 1 = 0)
3130ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = 0 โ†’ 1 = 0))
3231necon3d 2956 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ‰  0))
333, 32mpi 20 . . . . . . . 8 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ‰  0)
3433adantrl 715 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ‰  0)
352, 34eqnetrd 3003 . . . . . 6 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
3635ex 412 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ด โ‰  0))
3736rexlimdvva 3206 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ด โ‰  0))
3837expimpd 453 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โ‰  0))
391, 38sylbid 239 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†’ ๐ด โ‰  0))
4039imp 406 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065   โˆ– cdif 3941  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„คcz 12580  โ†‘cexp 14050  โˆšcsqrt 15204  โ—ปNNcsquarenn 42178  Pell1234QRcpell1234qr 42180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-pell1234qr 42186
This theorem is referenced by:  pell1234qrreccl  42196  pell14qrne0  42200
  Copyright terms: Public domain W3C validator