Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrss1234 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell14qrss1234 42198
Description: A positive Pell solution is a general Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrss1234 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell14QRโ€˜๐ท) โІ (Pell1234QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pell14qrss1234
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 12605 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21a1i 11 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค))
32anim1d 610 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
43reximdv2 3159 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)))
54anim2d 611 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
6 elpell14qr 42191 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
7 elpell1234qr 42193 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
85, 6, 73imtr4d 294 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)))
98ssrdv 3984 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell14QRโ€˜๐ท) โІ (Pell1234QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065   โˆ– cdif 3941   โІ wss 3944  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ†‘cexp 14050  โˆšcsqrt 15204  โ—ปNNcsquarenn 42178  Pell1234QRcpell1234qr 42180  Pell14QRcpell14qr 42181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-pell14qr 42185  df-pell1234qr 42186
This theorem is referenced by:  pell14qrre  42199  pell14qrne0  42200  elpell14qr2  42204
  Copyright terms: Public domain W3C validator