Theorem pell14qrss1234 43310

Description: A positive Pell solution is a general Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrss1234	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrss1234

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ))
3	2	anim1d 617	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
4	3	reximdv2 3149	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)))
5	4	anim2d 618	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
6		elpell14qr 43303	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
7		elpell1234qr 43305	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
8	5, 6, 7	3imtr4d 295	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
9	8	ssrdv 3921	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11369  ℕcn 12166  2c2 12228  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  ↑cexp 14015  √csqrt 15187  ◻_NNcsquarenn 43290  Pell1234QRcpell1234qr 43292  Pell14QRcpell14qr 43293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-pell14qr 43297  df-pell1234qr 43298

This theorem is referenced by:  pell14qrre  43311  pell14qrne0  43312  elpell14qr2  43316