Theorem pell14qrss1234 42817

Description: A positive Pell solution is a general Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrss1234	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrss1234

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ))
3	2	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
4	3	reximdv2 3143	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)))
5	4	anim2d 612	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
6		elpell14qr 42810	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
7		elpell1234qr 42812	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
8	5, 6, 7	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
9	8	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ↑cexp 14002  √csqrt 15175  ◻_NNcsquarenn 42797  Pell1234QRcpell1234qr 42799  Pell14QRcpell14qr 42800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-pell14qr 42804  df-pell1234qr 42805

This theorem is referenced by:  pell14qrre  42818  pell14qrne0  42819  elpell14qr2  42823