Theorem pell14qrss1234 42844

Description: A positive Pell solution is a general Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrss1234	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrss1234

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ))
3	2	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
4	3	reximdv2 3143	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)))
5	4	anim2d 612	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
6		elpell14qr 42837	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
7		elpell1234qr 42839	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
8	5, 6, 7	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
9	8	ssrdv 3952	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ↑cexp 14026  √csqrt 15199  ◻_NNcsquarenn 42824  Pell1234QRcpell1234qr 42826  Pell14QRcpell14qr 42827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-pell14qr 42831  df-pell1234qr 42832

This theorem is referenced by:  pell14qrre  42845  pell14qrne0  42846  elpell14qr2  42850