Theorem pell14qrss1234 43682

Description: A positive Pell solution is a general Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrss1234	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrss1234

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ))
3	2	anim1d 623	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
4	3	reximdv2 3174	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)))
5	4	anim2d 624	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
6		elpell14qr 43675	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
7		elpell1234qr 43677	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑏 + ((√‘𝐷) · 𝑐)) ∧ ((𝑏↑2) − (𝐷 · (𝑐↑2))) = 1))))
8	5, 6, 7	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
9	8	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11124  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  ℕcn 12258  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ↑cexp 14125  √csqrt 15320  ◻_NNcsquarenn 43662  Pell1234QRcpell1234qr 43664  Pell14QRcpell14qr 43665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-pell14qr 43669  df-pell1234qr 43670

This theorem is used by:  pell14qrre  43683  pell14qrne0  43684  elpell14qr2  43688