Theorem pell1234qrre 43268

Description: General Pell solutions are (coded as) real numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1234qrre	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem pell1234qrre

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1234qr 43267	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2	1	simprbda 498	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3882  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   − cmin 11366  ℕcn 12163  2c2 12225  ℤcz 12513  ↑cexp 14012  √csqrt 15184  ◻_NNcsquarenn 43252  Pell1234QRcpell1234qr 43254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fv 6495  df-ov 7359  df-pell1234qr 43260

This theorem is referenced by:  pell1234qrreccl  43270  pell14qrre  43273  elpell14qr2  43278  pell14qrmulcl  43279  pell14qrreccl  43280