Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1234qrre 41222
Description: General Pell solutions are (coded as) real numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrre ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)

Proof of Theorem pell1234qrre
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 41221 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
21simprbda 500 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1234QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3911  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127  โ—ปNNcsquarenn 41206  Pell1234QRcpell1234qr 41208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-pell1234qr 41214
This theorem is referenced by:  pell1234qrreccl  41224  pell14qrre  41227  elpell14qr2  41232  pell14qrmulcl  41233  pell14qrreccl  41234
  Copyright terms: Public domain W3C validator