pell1234qrdich - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pell1234qrdich 42856

Description: A general Pell solution is either a positive solution, or its negation is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pell1234qrdich	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))

Proof of Theorem pell1234qrdich Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1234qr 42846	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
4	3	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐↑2) = (𝑎↑2))
6	5	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
7	6	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
8	4, 7	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
9	8	rexbidv 3158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
10	9	rspcev 3591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
11	10	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
12		elpell14qr 42844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
13	12	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
14	2, 11, 13	mpbir2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
15	14	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
16	15	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ₀ → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
17		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ ℝ)
19		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑎 ∈ ℕ₀)
20		znegcl 12575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → -𝑏 ∈ ℤ)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℤ)
22		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
23	22	negeqd 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
24		zcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		eldifi 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30		zcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	29, 31	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
33	25, 32	negdid 11553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
34		mulneg2 11622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
35	34	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
36	29, 31, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
37	36	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
38	23, 33, 37	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
39		sqneg 14087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
40	25, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
41		sqneg 14087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
42	31, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
43	42	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
44	40, 43	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
45		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
46	44, 45	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
47		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
48	47	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
49		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (𝑐↑2) = (-𝑎↑2))
50	49	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
51	50	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
52	48, 51	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → ((-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
53		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑑) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
54	53	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
55	54	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
56		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝑑↑2) = (-𝑏↑2))
57	56	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
58	57	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
59	58	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
60	55, 59	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
61	52, 60	rspc2ev 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑏 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
62	19, 21, 38, 46, 61	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
63		elpell14qr 42844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
64	63	ad5antr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
65	18, 62, 64	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
66	65	olcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
67	66	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
68	67	rexlimdva 3135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
69	68	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ₀ → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
70		elznn0 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑎 ∈ ℕ₀)))
71	70	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑎 ∈ ℕ₀))
72	71	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑎 ∈ ℕ₀))
73	16, 69, 72	mpjaod 860	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
74	73	rexlimdva 3135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
75	74	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
76	1, 75	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
77	76	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3054 ∖ cdif 3914 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 − cmin 11412 -cneg 11413 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ↑cexp 14033 √csqrt 15206 ◻_NNcsquarenn 42831 Pell1234QRcpell1234qr 42833 Pell14QRcpell14qr 42834

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-sup 9400 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-n0 12450 df-z 12537 df-uz 12801 df-rp 12959 df-seq 13974 df-exp 14034 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-pell14qr 42838 df-pell1234qr 42839

This theorem is referenced by: elpell14qr2 42857

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