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Theorem pell1234qrdich 38103
Description: A general Pell solution is either a positive solution, or its negation is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrdich ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))

Proof of Theorem pell1234qrdich
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 38093 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2 simp-4r 803 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
43eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑎 → (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐↑2) = (𝑎↑2))
65oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
76eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
84, 7anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑎 → ((𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
98rexbidv 3199 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
109rspcev 3461 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
1110adantll 705 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
12 elpell14qr 38091 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
1312ad4antr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
142, 11, 13mpbir2and 704 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
1514orcd 899 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
1615exp31 410 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
17 simp-5r 807 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817renegcld 10711 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ ℝ)
19 simpllr 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑎 ∈ ℕ0)
20 znegcl 11659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℤ → -𝑏 ∈ ℤ)
2120ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℤ)
22 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
2322negeqd 10529 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
24 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
2524ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
2726nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
2827ad5antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2928sqrtcld 14461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
3130ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3229, 31mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
3325, 32negdid 10659 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
34 mulneg2 10721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
3534eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
3629, 31, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
3736oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
3823, 33, 373eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
39 sqneg 13130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
4025, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
41 sqneg 13130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
4231, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
4342oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
4440, 43oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
45 simprr 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
4644, 45eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
47 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = -𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
4847eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = -𝑎 → (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
49 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = -𝑎 → (𝑐↑2) = (-𝑎↑2))
5049oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = -𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
5150eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = -𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
5248, 51anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = -𝑎 → ((-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
53 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑑) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
5453oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = -𝑏 → (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
5554eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = -𝑏 → (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
56 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = -𝑏 → (𝑑↑2) = (-𝑏↑2))
5756oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
5857oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = -𝑏 → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
5958eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = -𝑏 → (((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
6055, 59anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = -𝑏 → ((-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
6152, 60rspc2ev 3476 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
6219, 21, 38, 46, 61syl112anc 1493 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
63 elpell14qr 38091 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
6463ad5antr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
6518, 62, 64mpbir2and 704 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
6665olcd 900 . . . . . . . . 9 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
6766ex 401 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
6867rexlimdva 3178 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
6968ex 401 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
70 elznn0 11639 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
7170simprbi 490 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0))
7271adantl 473 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0))
7316, 69, 72mpjaod 886 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7473rexlimdva 3178 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7574expimpd 445 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
761, 75sylbid 231 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7776imp 395 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  cdif 3729  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cexp 13067  csqrt 14258  NNcsquarenn 38078  Pell1234QRcpell1234qr 38080  Pell14QRcpell14qr 38081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-pell14qr 38085  df-pell1234qr 38086
This theorem is referenced by:  elpell14qr2  38104
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