Theorem pell1234qrdich 43435

Description: A general Pell solution is either a positive solution, or its negation is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1234qrdich	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))

Proof of Theorem pell1234qrdich

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1234qr 43425	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		simp-4r 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
4	3	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐↑2) = (𝑎↑2))
6	5	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
7	6	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
8	4, 7	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
9	8	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
10	9	rspcev 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
11	10	adantll 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
12		elpell14qr 43423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
13	12	ad4antr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
14	2, 11, 13	mpbir2and 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
15	14	orcd 884	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
16	15	exp31 423	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
17		simp-5r 795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ ℝ)
19		simpllr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑎 ∈ ℕ0)
20		znegcl 12606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → -𝑏 ∈ ℤ)
21	20	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℤ)
22		simprl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
23	22	negeqd 11424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
24		zcn 12573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	ad4antlr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	ad5antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30		zcn 12573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	29, 31	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
33	25, 32	negdid 11555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
34		mulneg2 11624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
35	34	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
36	29, 31, 35	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
37	36	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
38	23, 33, 37	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
39		sqneg 14128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
40	25, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
41		sqneg 14128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
42	31, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
43	42	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
44	40, 43	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
45		simprr 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
46	44, 45	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
47		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
48	47	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
49		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (𝑐↑2) = (-𝑎↑2))
50	49	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
51	50	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
52	48, 51	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → ((-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
53		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑑) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
54	53	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
55	54	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
56		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝑑↑2) = (-𝑏↑2))
57	56	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
58	57	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
59	58	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
60	55, 59	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
61	52, 60	rspc2ev 3594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
62	19, 21, 38, 46, 61	syl112anc 1393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
63		elpell14qr 43423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
64	63	ad5antr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
65	18, 62, 64	mpbir2and 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
66	65	olcd 885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
67	66	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
68	67	rexlimdva 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
69	68	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
70		elznn0 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
71	70	simprbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0))
72	71	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0))
73	16, 69, 72	mpjaod 871	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
74	73	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
75	74	expimpd 457	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
76	1, 75	sylbid 242	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
77	76	imp 410	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414  -cneg 11415  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ↑cexp 14074  √csqrt 15260  ◻_NNcsquarenn 43410  Pell1234QRcpell1234qr 43412  Pell14QRcpell14qr 43413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-pell14qr 43417  df-pell1234qr 43418

This theorem is referenced by:  elpell14qr2  43436