MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop 22871
Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽𝐴 (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))

Proof of Theorem eltop
StepHypRef Expression
1 tgtop 22870 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2815 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg 22854 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))
42, 3bitr3d 281 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽𝐴 (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2099  cin 3944  wss 3945  𝒫 cpw 4599   cuni 4904  cfv 6543  topGenctg 17413  Topctop 22789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17419  df-top 22790
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator