MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop 22876
Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))

Proof of Theorem eltop
StepHypRef Expression
1 tgtop 22875 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
21eleq2d 2815 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3 eltg 22859 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))
42, 3bitr3d 281 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6548  topGenctg 17418  Topctop 22794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-topgen 17424  df-top 22795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator