MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop 21725
Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽𝐴 (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))

Proof of Theorem eltop
StepHypRef Expression
1 tgtop 21724 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2818 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg 21708 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))
42, 3bitr3d 284 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽𝐴 (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2114  cin 3842  wss 3843  𝒫 cpw 4488   cuni 4796  cfv 6339  topGenctg 16814  Topctop 21644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fv 6347  df-topgen 16820  df-top 21645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator