Theorem tgtop 23199

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 23188	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 = ∪ 𝑦)
3		uniopn 23123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
5	2, 4	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽)
6	5	expl 463	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
7	6	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
8	1, 7	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽))
9	8	ssrdv 3940	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
10		bastg 23192	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐽))
11	9, 10	eqssd 3951	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6537  topGenctg 17526  Topctop 23119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-topgen 17532  df-top 23120

This theorem is used by:  eltop  23200  eltop2  23201  eltop3  23202  bastop  23207  tgtop11  23208  basgen  23214  tgfiss  23217  bastop1  23219  resttop  23386  dis1stc  23726  alexsubALTlem1  24274  xrtgioo  25034  topfne  36960  topfneec  36961  topfneec2  36962  dissneqlem  38081