Theorem tgtop 23040

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 23029	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
2		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 = ∪ 𝑦)
3		uniopn 22964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
4	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
5	2, 4	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽)
6	5	expl 461	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
7	6	exlimdv 1954	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
8	1, 7	sylbid 242	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽))
9	8	ssrdv 3943	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
10		bastg 23033	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐽))
11	9, 10	eqssd 3954	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6521  topGenctg 17476  Topctop 22960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-topgen 17482  df-top 22961

This theorem is referenced by:  eltop  23041  eltop2  23042  eltop3  23043  bastop  23048  tgtop11  23049  basgen  23055  tgfiss  23058  bastop1  23060  resttop  23227  dis1stc  23566  alexsubALTlem1  24114  xrtgioo  24874  topfne  36719  topfneec  36720  topfneec2  36721  dissneqlem  37839