Theorem tgtop 23002

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 22991	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
2		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 = ∪ 𝑦)
3		uniopn 22926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
4	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
5	2, 4	eqeltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽)
6	5	expl 460	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
7	6	exlimdv 1943	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
8	1, 7	sylbid 242	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽))
9	8	ssrdv 3933	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
10		bastg 22995	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐽))
11	9, 10	eqssd 3944	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550  ∃wex 1789   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4855  ‘cfv 6506  topGenctg 17438  Topctop 22922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fv 6514  df-topgen 17444  df-top 22923

This theorem is referenced by:  eltop  23003  eltop2  23004  eltop3  23005  bastop  23010  tgtop11  23011  basgen  23017  tgfiss  23020  bastop1  23022  resttop  23189  dis1stc  23528  alexsubALTlem1  24076  xrtgioo  24836  topfne  36652  topfneec  36653  topfneec2  36654  dissneqlem  37772