MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop2 22698
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 22696 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
21eleq2d 2819 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3 eltg2b 22682 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
42, 3bitr3d 280 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  topGenctg 17387  Topctop 22615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17393  df-top 22616
This theorem is referenced by:  isclo  22811  cncnp  23004  ist1-2  23071  hauscmp  23131  llycmpkgen2  23274  ptpjopn  23336  txkgen  23376  xkococn  23384  xkoinjcn  23411  fclscf  23749  subgntr  23831  opnsubg  23832  qustgpopn  23844  prdsxmslem2  24258  zdis  24552  efopn  26390  cvmopnlem  34555  neibastop3  35550  ioorrnopn  45320  ioorrnopnxr  45322
  Copyright terms: Public domain W3C validator