MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop2 22478
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 22476 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
21eleq2d 2820 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3 eltg2b 22462 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
42, 3bitr3d 281 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  topGenctg 17383  Topctop 22395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-topgen 17389  df-top 22396
This theorem is referenced by:  isclo  22591  cncnp  22784  ist1-2  22851  hauscmp  22911  llycmpkgen2  23054  ptpjopn  23116  txkgen  23156  xkococn  23164  xkoinjcn  23191  fclscf  23529  subgntr  23611  opnsubg  23612  qustgpopn  23624  prdsxmslem2  24038  zdis  24332  efopn  26166  cvmopnlem  34269  neibastop3  35247  ioorrnopn  45021  ioorrnopnxr  45023
  Copyright terms: Public domain W3C validator