MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop2 22341
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 22339 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
21eleq2d 2820 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3 eltg2b 22325 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
42, 3bitr3d 281 1 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  topGenctg 17324  Topctop 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330  df-top 22259
This theorem is referenced by:  isclo  22454  cncnp  22647  ist1-2  22714  hauscmp  22774  llycmpkgen2  22917  ptpjopn  22979  txkgen  23019  xkococn  23027  xkoinjcn  23054  fclscf  23392  subgntr  23474  opnsubg  23475  qustgpopn  23487  prdsxmslem2  23901  zdis  24195  efopn  26029  cvmopnlem  33929  neibastop3  34880  ioorrnopn  44632  ioorrnopnxr  44634
  Copyright terms: Public domain W3C validator