MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop2 22998
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 22996 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2825 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg2b 22982 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
42, 3bitr3d 281 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  cfv 6563  topGenctg 17484  Topctop 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-top 22916
This theorem is referenced by:  isclo  23111  cncnp  23304  ist1-2  23371  hauscmp  23431  llycmpkgen2  23574  ptpjopn  23636  txkgen  23676  xkococn  23684  xkoinjcn  23711  fclscf  24049  subgntr  24131  opnsubg  24132  qustgpopn  24144  prdsxmslem2  24558  zdis  24852  efopn  26715  cvmopnlem  35263  neibastop3  36345  ioorrnopn  46261  ioorrnopnxr  46263
  Copyright terms: Public domain W3C validator