MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop2 21577
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 21575 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2898 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg2b 21561 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
42, 3bitr3d 283 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  wss 3936  cfv 6350  topGenctg 16705  Topctop 21495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fv 6358  df-topgen 16711  df-top 21496
This theorem is referenced by:  isclo  21689  cncnp  21882  ist1-2  21949  hauscmp  22009  llycmpkgen2  22152  ptpjopn  22214  txkgen  22254  xkococn  22262  xkoinjcn  22289  fclscf  22627  subgntr  22709  opnsubg  22710  qustgpopn  22722  prdsxmslem2  23133  zdis  23418  efopn  25235  cvmopnlem  32520  neibastop3  33705  ioorrnopn  42583  ioorrnopnxr  42585
  Copyright terms: Public domain W3C validator