MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrinf0 13352
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrinf0 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Proof of Theorem xrinf0
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13155 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (⊤ → < Or ℝ*)
3 pnfxr 11300 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . 3 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
5 noel 4330 . . . . 5 ¬ 𝑦 ∈ ∅
65pm2.21i 119 . . . 4 (𝑦 ∈ ∅ → ¬ 𝑦 < +∞)
76adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ¬ 𝑦 < +∞)
8 pnfnlt 13143 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
98pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
109imp 405 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
1110adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
122, 4, 7, 11eqinfd 9510 . 2 (⊤ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
1312mptru 1540 1 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wrex 3059  c0 4322   class class class wbr 5149   Or wor 5589  infcinf 9466  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  16981  infleinf  44892  infxrpnf  44966  supxrltinfxr  44969  supminfxr  44984
  Copyright terms: Public domain W3C validator