Theorem xrinf0 13356

Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrinf0	⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Proof of Theorem xrinf0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13157	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → < Or ℝ*)
3		pnfxr 11251	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
5		noel 4293	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
6	5	pm2.21i 120	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ → ¬ 𝑦 < +∞)
7	6	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ¬ 𝑦 < +∞)
8		pnfnlt 13144	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
9	8	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
10	9	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
11	10	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
12	2, 4, 7, 11	eqinfd 9434	. 2 ⊢ (⊤ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
13	12	mptru 1570	1 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  ∅c0 4288   class class class wbr 5105   Or wor 5559  infcinf 9389  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  ramcl2lem  17059  infleinf  45945  infxrpnf  46018  supxrltinfxr  46021  supminfxr  46036