MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrinf0 12719
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrinf0 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Proof of Theorem xrinf0
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12522 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (⊤ → < Or ℝ*)
3 pnfxr 10682 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . 3 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
5 noel 4278 . . . . 5 ¬ 𝑦 ∈ ∅
65pm2.21i 119 . . . 4 (𝑦 ∈ ∅ → ¬ 𝑦 < +∞)
76adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ¬ 𝑦 < +∞)
8 pnfnlt 12511 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
98pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
109imp 410 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
1110adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
122, 4, 7, 11eqinfd 8935 . 2 (⊤ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
1312mptru 1545 1 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 399   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2115  wrex 3133  c0 4274   class class class wbr 5049   Or wor 5456  infcinf 8891  +∞cpnf 10659  *cxr 10661   < clt 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  16334  infleinf  41861  infxrpnf  41941  supxrltinfxr  41944  supminfxr  41960
  Copyright terms: Public domain W3C validator