Theorem xrinf0 13450

Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrinf0	⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Proof of Theorem xrinf0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13251	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → < Or ℝ*)
3		pnfxr 11344	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
5		noel 4284	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
6	5	pm2.21i 120	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ → ¬ 𝑦 < +∞)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ¬ 𝑦 < +∞)
8		pnfnlt 13238	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
9	8	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
10	9	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
12	2, 4, 7, 11	eqinfd 9462	. 2 ⊢ (⊤ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
13	12	mptru 1577	1 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   Or wor 5558  infcinf 9417  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  ramcl2lem  17167  infleinf  46327  infxrpnf  46400  supxrltinfxr  46403  supminfxr  46418