Theorem xrinf0 13289

Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrinf0	⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Proof of Theorem xrinf0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13090	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → < Or ℝ*)
3		pnfxr 11197	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
5		noel 4273	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
6	5	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ → ¬ 𝑦 < +∞)
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ¬ 𝑦 < +∞)
8		pnfnlt 13077	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
9	8	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
10	9	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
12	2, 4, 7, 11	eqinfd 9396	. 2 ⊢ (⊤ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
13	12	mptru 1554	1 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  ∅c0 4268   class class class wbr 5079   Or wor 5532  infcinf 9351  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182

This theorem is referenced by:  ramcl2lem  16978  infleinf  45823  infxrpnf  45896  supxrltinfxr  45899  supminfxr  45914