Theorem infmremnf 13498

Description: The infimum of the reals is minus infinity. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmremnf	⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem infmremnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltxrnmnf 13497	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥)
2		xrltso 13294	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → < Or ℝ*)
4		mnfxr 11390	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
6		rexr 11379	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		nltmnf 13282	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ 𝑦 < -∞)
10		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < 𝑦))
11		breq2 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
12	11	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
13	10, 12	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
14	13	rspcv 3576	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
15	14	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
16	15	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
17	16	impcom 413	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)
18	3, 5, 9, 17	eqinfd 9502	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞)
19	1, 18	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106   Or wor 5562  infcinf 9457  ℝcr 11223  -∞cmnf 11365  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568

This theorem is used by: (None)