Theorem infmremnf 13475

Description: The infimum of the reals is minus infinity. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmremnf	⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem infmremnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltxrnmnf 13474	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥)
2		xrltso 13271	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → < Or ℝ*)
4		mnfxr 11367	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
6		rexr 11356	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		nltmnf 13259	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ 𝑦 < -∞)
10		breq2 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < 𝑦))
11		breq2 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
12	11	rexbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
13	10, 12	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
14	13	rspcv 3573	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
15	14	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
16	15	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
17	16	impcom 413	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)
18	3, 5, 9, 17	eqinfd 9479	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞)
19	1, 18	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103   Or wor 5558  infcinf 9434  ℝcr 11200  -∞cmnf 11342  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545

This theorem is used by: (None)