Theorem infmremnf 13257

Description: The infimum of the reals is minus infinity. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmremnf	⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem infmremnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltxrnmnf 13256	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥)
2		xrltso 13053	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → < Or ℝ*)
4		mnfxr 11187	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
6		rexr 11176	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		nltmnf 13041	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ 𝑦 < -∞)
10		breq2 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < 𝑦))
11		breq2 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
12	11	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
13	10, 12	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
14	13	rspcv 3570	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
15	14	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)))
16	15	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦))
17	16	impcom 407	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑦)
18	3, 5, 9, 17	eqinfd 9387	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 < 𝑥) → inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞)
19	1, 18	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ, ℝ*, < ) = -∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096   Or wor 5529  infcinf 9342  ℝcr 11023  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365

This theorem is referenced by: (None)