Theorem infmrp1 13292

Description: The infimum of the positive reals is 0. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmrp1	⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Proof of Theorem infmrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpltrp 13289	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥
2		ltso 11221	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → < Or ℝ)
4		0red 11142	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → 0 ∈ ℝ)
5		0red 11142	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
6		rpre 12946	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		rpge0 12951	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑧)
8	5, 6, 7	lensymd 11292	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑧 < 0)
9	8	adantl 483	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑧 < 0)
10		elrp 12939	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
11		breq2 5079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
12	11	rexbidv 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
13	12	rspcv 3558	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
14	10, 13	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
15	14	impcom 409	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧)
16	3, 4, 9, 15	eqinfd 9393	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0)
17	1, 16	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   class class class wbr 5075   Or wor 5528  infcinf 9348  ℝcr 11032  0cc0 11033   < clt 11174  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-rp 12938

This theorem is referenced by: (None)