Theorem infmrp1 13361

Description: The infimum of the positive reals is 0. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmrp1	⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Proof of Theorem infmrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpltrp 13358	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥
2		ltso 11330	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → < Or ℝ)
4		0red 11253	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → 0 ∈ ℝ)
5		0red 11253	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
6		rpre 13020	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		rpge0 13025	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑧)
8	5, 6, 7	lensymd 11401	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑧 < 0)
9	8	adantl 480	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑧 < 0)
10		elrp 13014	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
11		breq2 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
12	11	rexbidv 3174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
13	12	rspcv 3605	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
14	10, 13	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
15	14	impcom 406	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧)
16	3, 4, 9, 15	eqinfd 9514	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0)
17	1, 16	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   class class class wbr 5150   Or wor 5591  infcinf 9470  ℝcr 11143  0cc0 11144   < clt 11284  ℝ⁺crp 13012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-2 12311  df-rp 13013

This theorem is referenced by: (None)