MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infmrp1 12934
Description: The infimum of the positive reals is 0. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infmrp1 inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Proof of Theorem infmrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpltrp 12931 . 2 𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥
2 ltso 10913 . . . 4 < Or ℝ
32a1i 11 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → < Or ℝ)
4 0red 10836 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → 0 ∈ ℝ)
5 0red 10836 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
6 rpre 12594 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
7 rpge0 12599 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑧)
85, 6, 7lensymd 10983 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑧 < 0)
98adantl 485 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥𝑧 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑧 < 0)
10 elrp 12588 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
11 breq2 5057 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑧))
1211rexbidv 3216 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
1312rspcv 3532 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
1410, 13sylbir 238 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
1514impcom 411 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧)
163, 4, 9, 15eqinfd 9101 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0)
171, 16ax-mp 5 1 inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 5053   Or wor 5467  infcinf 9057  cr 10728  0cc0 10729   < clt 10867  +crp 12586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-rp 12587
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator