MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infmrp1 13326
Description: The infimum of the positive reals is 0. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infmrp1 inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Proof of Theorem infmrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpltrp 13323 . 2 𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥
2 ltso 11295 . . . 4 < Or ℝ
32a1i 11 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → < Or ℝ)
4 0red 11218 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → 0 ∈ ℝ)
5 0red 11218 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
6 rpre 12985 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
7 rpge0 12990 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑧)
85, 6, 7lensymd 11366 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑧 < 0)
98adantl 481 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥𝑧 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑧 < 0)
10 elrp 12979 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
11 breq2 5145 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑧))
1211rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
1312rspcv 3602 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
1410, 13sylbir 234 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
1514impcom 407 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧)
163, 4, 9, 15eqinfd 9479 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0)
171, 16ax-mp 5 1 inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064   class class class wbr 5141   Or wor 5580  infcinf 9435  cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  +crp 12977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-rp 12978
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator