Theorem infmrp1 13322

Description: The infimum of the positive reals is 0. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmrp1	⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Proof of Theorem infmrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpltrp 13319	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥
2		ltso 11293	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → < Or ℝ)
4		0red 11216	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → 0 ∈ ℝ)
5		0red 11216	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
6		rpre 12981	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		rpge0 12986	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑧)
8	5, 6, 7	lensymd 11364	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑧 < 0)
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑧 < 0)
10		elrp 12975	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
11		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
12	11	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
13	12	rspcv 3608	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
14	10, 13	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
15	14	impcom 408	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧)
16	3, 4, 9, 15	eqinfd 9479	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0)
17	1, 16	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148   Or wor 5587  infcinf 9435  ℝcr 11108  0cc0 11109   < clt 11247  ℝ⁺crp 12973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974

This theorem is referenced by: (None)