Theorem infmrp1 13350

Description: The infimum of the positive reals is 0. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmrp1	⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Proof of Theorem infmrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpltrp 13347	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥
2		ltso 11265	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → < Or ℝ)
4		0red 11186	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → 0 ∈ ℝ)
5		0red 11186	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
6		rpre 13004	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		rpge0 13009	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑧)
8	5, 6, 7	lensymd 11336	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑧 < 0)
9	8	adantl 485	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑧 < 0)
10		elrp 12997	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
11		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
12	11	rexbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
13	12	rspcv 3579	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
14	10, 13	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧))
15	14	impcom 411	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑧)
16	3, 4, 9, 15	eqinfd 9434	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥 → inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0)
17	1, 16	ax-mp 5	1 ⊢ inf(ℝ+, ℝ, < ) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5102   Or wor 5556  infcinf 9389  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11218  ℝ⁺crp 12995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-rp 12996

This theorem is referenced by: (None)