Theorem eqvreldmqs2 38658

Description: Two ways to express comember equivalence relation on its domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldmqs2	⊢ (( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ∼ 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem eqvreldmqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 38394	. . . 4 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2	1	eqvreleqi 38585	. . 3 ⊢ ( EqvRel ∼ 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
3	2	bicomi 224	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ↔ EqvRel ∼ 𝐴)
4		dmqs1cosscnvepreseq 38644	. 2 ⊢ ((dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	anbi12i 628	1 ⊢ (( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ∼ 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∪ cuni 4912   E cep 5588  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   / cqs 8743   ≀ ccoss 38162   ∼ ccoels 38163   EqvRel weqvrel 38179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746  df-qs 8750  df-coss 38393  df-coels 38394  df-refrel 38494  df-symrel 38526  df-trrel 38556  df-eqvrel 38567

This theorem is referenced by:  cpet2  38819