Theorem eqvreldmqs2 36915

Description: Two ways to express comember equivalence relation on its domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldmqs2	⊢ (( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ∼ 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem eqvreldmqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 36651	. . . 4 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2	1	eqvreleqi 36842	. . 3 ⊢ ( EqvRel ∼ 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
3	2	bicomi 223	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ↔ EqvRel ∼ 𝐴)
4		dmqs1cosscnvepreseq 36901	. 2 ⊢ ((dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	anbi12i 627	1 ⊢ (( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ∼ 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540  ∪ cuni 4849   E cep 5511  ^◡ccnv 5606  dom cdm 5607   ↾ cres 5609   / cqs 8546   ≀ ccoss 36410   ∼ ccoels 36411   EqvRel weqvrel 36427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pr 5366

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3442  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-br 5087  df-opab 5149  df-eprel 5512  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-ec 8549  df-qs 8553  df-coss 36650  df-coels 36651  df-refrel 36751  df-symrel 36783  df-trrel 36813  df-eqvrel 36824

This theorem is referenced by:  cpet2  37076