Theorem eqvreldmqs2 38677

Description: Two ways to express comember equivalence relation on its domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldmqs2	⊢ (( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ∼ 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem eqvreldmqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 38413	. . . 4 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2	1	eqvreleqi 38604	. . 3 ⊢ ( EqvRel ∼ 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
3	2	bicomi 224	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ↔ EqvRel ∼ 𝐴)
4		dmqs1cosscnvepreseq 38663	. 2 ⊢ ((dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	anbi12i 628	1 ⊢ (( EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∧ (dom ≀ (◡ E ↾ 𝐴) / ≀ (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ∼ 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∪ cuni 4907   E cep 5583  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   ↾ cres 5687   / cqs 8744   ≀ ccoss 38182   ∼ ccoels 38183   EqvRel weqvrel 38199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-eprel 5584  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ec 8747  df-qs 8751  df-coss 38412  df-coels 38413  df-refrel 38513  df-symrel 38545  df-trrel 38575  df-eqvrel 38586

This theorem is referenced by:  cpet2  38838